Question

如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若AB=4，AC=3，BC=5，求四边形ADEF的面积．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质及平行四边形的判定（两组对边分别相等的四边形是平行边形）来证明四边形ADEF是平行四边形；
（2）可先证明△ABC为直角三角形，可求得∠DAF=150°，则可求得∠D=30°，过E作EM⊥AD，可求得EM，可求得四边形ADEF的面积．

解答：（1）证明：
四边形ADEF是平行四边形．
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
在△BDE和△BCA中

BE=BC ∠DBE=∠ABC BD=BA

∴△BDE≌△BCA（SAS）．
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠BAC=90°，
又∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠DAF=360°-90°-60°-60°=150°，
∴∠EDA=30°，
如图，过E作EM⊥AD于点M，

则可知EM=

1

2

ED=

1

2

AF=

1

2

AC=2，
且AD=AB=3，
∴S_{四边形ADEF}=AD•EM=3×2=6．

点评：本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形?平行四边形，②两组对边分别相等的四边形?平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形?平行四边形，④两组对角分别相等的四边形?平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形?平行四边形．