Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、QE

（1）求证：四边形BPEQ是菱形：

（2）若AB＝6，F是AB中点，OF＝4，求菱形BPEQ的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB＝PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE＝QB，证出四边形BPEQ是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；

（2）先证明OF为△BAE的中位线，然后依据三角形的中位线定理得出AE∥OF且OF＝AE．求得OB的长，则可得到BE的长，设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x，在Rt△APB中依据勾股定理可列出关于x的方程，然后依据菱形的面积公式进行计算即可．

（1）证明：∵PQ垂直平分BE，

∴PB＝PE，OB＝OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝90°，

∴∠PEO＝∠QBO，

在△BOQ与△EOP中，，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

∴PE＝QB，

又∵AD∥BC，

∴四边形BPEQ是平行四边形，

又∵QB＝QE，

∴四边形BPEQ是菱形；

（2）解：∵AB＝6，F是AB的中点，

∴BF＝3．

∵四边形BPEQ是菱形，

∴OB＝OE．

又∵F是AB的中点，

∴OF是△BAE的中位线，

∴AE∥OF且OF＝AE．

∴∠BFO＝∠A＝90°．

在Rt△FOB中，OB＝＝5，

∴BE＝10．

设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x．

在Rt△APB中，BP2＝AB2+AP2，

即x2＝62+（8﹣x）2，

解得：x＝，

∴BQ＝，

∴菱形BPEQ的面积＝BQ×AB＝×6＝．