【题目】(1)感知:如图(1),在△ABC中,分别以AB、AC为边在△ABC外部作等边三角形△ABD、△ACE,连接CD、BE.求证:BE=DC;
(2)应用:如图(2),在△ABC中,AB>AC,分别以AB、AC为边在△ABC内部作等腰三角形△ABD、△ACE,点E恰好在BC边上,使AB=AD,AC=AE,且∠BAD=∠CAE,连接CD,CE=3cm,CD=2cm,△ABC的面积为25cm2,求△ABE的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)△ABE的面积是10cm2.
【解析】
探究:证明△ADC≌△ABE(SAS),可得BE=DC;
应用:过A点作△ABC的高线,垂足为F.先证明△ADC≌△ABE,可得BE=DC=2,利用面积求得AF=10,则△ABE的面积可求出.
感知:证明:∵△ABD和△ACE为等边三角形,
∴∠EAC=∠DAB=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠CAB,
∴∠DAC=∠EAB,
∵AD=AB,AC=AE,
∴△ADC≌△ABE(SAS),
∴BE=DC;
应用:解:过A点作△ABC的高线,垂足为F.
∵∠BAD=∠EAC,
∴∠BAD﹣∠EAD=∠EAC﹣∠EAD,
∴∠BAE=∠DAC,
∵AB=AD,AE=AC
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴DC=BE=2,
∵EC=3,
∴BC=5,
∵△ABC的面积是25cm2,
∴,
∴AF=10,
∴△ABE的面积是=10cm2
∴△ABE的面积是10cm2.
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【题目】如图,海中有一小岛P,在距小岛P的海里范围内有暗礁,一轮船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为32海里,若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.如果有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行,才能安全通过这一海域?
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【题目】设a,b,c是△ABC的三条边,关于x的方程x2+
x+c-
a=0有两个相等的实数根,方程3cx+2b=2a的根为x=0.
(1)试判断△ABC的形状;
(2)若a,b为方程x2+mx-3m=0的两个根,求m的值.
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△AB
C
;
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△AB
C
;
(3) 在轴上求作一点P,使△PAB的周长最小,请画出△PAB,并直接写出P的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,过格点A、B、C作一圆弧.
(1)弧AC的长为_____(结果保留π);
(2)点B与图中格点的连线中,能够与该圆弧相切的连线所对应的格点的坐标为_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点,点M(x,y)是该函数图象上的一个动点,过点M分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B.
(1)求∠OCD的度数;
(2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标;
(3)当m=5时,矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由.
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【题目】已知关于x的方程
(1)若方程有两个相等的实数根,求m的值,并求出此时方程的根;
(2)是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于224.若存在,求出满足条件的m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】二次函数y=x2+bx图象的对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣1≤x≤2的范围内有解,则t的取值范围是_____.
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【题目】已知二次函数y = 2x2 -4x -6.
(1)用配方法将y = 2x2 -4x -6化成y = a (x - h) 2 + k的形式;并写出对称轴和 顶点坐标。
(2)在平面直角坐标系中,画出这个二次函数的图象;
(3)当时,求y的取值范围;
(4)求函数图像与两坐标轴交点所围成的三角形的面积。
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