Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16，

（1）若E是边AB的中点，求线段DE的长

（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）

【解析】

（1）在△BCD中，由勾股定理逆定理可得△BCD是直角三角形，即∠ADB=90°,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可解得线段DE的长；

(2) 当DE⊥AB时，DE有最小值.根据等面积法即可求出DE的长.

解：(1)∵AC＝21，AD＝16，

∴CD=21-16=5，

∵DC +BD =5 +12 =169，BC =13 =169，

∴DC +BD = BC ,

∴△BCD是直角三角形。且∠BDC=90°,

∴∠ADB=90°,

在Rt△ADB中，由勾股定理得AB==20，

∵∠ADB=90°,E为斜边AB的中点，

∴DE=AB=×20=10.

(2)当DE⊥AB时，DE有最小值.

此时AB×DE=AD×DB,即20DE=16×12,

解得DE=.