【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标;
(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标.
【答案】
(1)解:∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3,
∴﹣1+3=﹣b,
﹣1×3=c,
∴b=﹣2,c=﹣3,
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3
(2)解:∵y=﹣x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴抛物线的对称轴x=1,顶点坐标(1,﹣4)
(3)解:设P的纵坐标为|yP|,
∵S△PAB=8,
∴ AB|yP|=8,
∵AB=3+1=4,
∴|yP|=4,
∴yP=±4,
把yP=4代入解析式得,4=x2﹣2x﹣3,
解得,x=1±2 ,
把yP=﹣4代入解析式得,﹣4=x2﹣2x﹣3,
解得,x=1,
∴点P在该抛物线上滑动到(1+2 ,4)或(1﹣2 ,4)或(1,﹣4)时,满足S△PAB=8.
【解析】(1)由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3,然后利用根与系数即可确定b、c的值.(2)把抛物线的解析式化成顶点式即可;(3)根据S△PAB=8,求得P的纵坐标,把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标.
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【题目】如图所示,在平行四边形ABCD中,BC=4cm , E为AD的中点,F、G分别为BE、CD的中点,则FG=( )cm .
A.2
B.3
C.4
D.5
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【题目】如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子.
(1)以水平的地面为x轴,两棵树间距离的中点O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,求出抛物线的解析式;
(2)求绳子的最低点离地面的距离.
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【题目】如图,Rt△OAB的顶点A(﹣2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为( )
A.( , )
B.(2,2)
C.( ,2)
D.(2, )
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足,连接DF,则∠CDF为( )
A.80°
B.70°
C.65°
D.60°
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【题目】如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点H.求证:BD⊥CF.
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