Question

15．如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中成立的有①②③．（只填序号）
①∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD；②EF=CF；③∠DFE=3∠AEF．

Answer 1

分析 先证明∠DFC=∠BCF，再证明DF=CD，得出∠DFC=∠DCF，即可得出①正确；
连接CF并延长交BA的延长线于G，先证明CF=GF，再由直角三角形斜边上的中线性质得出②正确；
由EF=GF得出∠G=∠FEG，再证明AF=AG，得出∠G=∠AFG=∠DFC，即可得出③正确．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∵AD=2AB，F是AD的中点，
∴DF=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∴∠BCF=∠DCF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴①正确；
连接CF并延长交BA的延长线于G，如图所示：
∵F是AD的中点，AB∥CD，
∴CF=GF，
∵CE⊥AB，
∴∠CEG=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CG=CF=GF，
∴②正确；
∵EF=GF，
∴∠G=∠FEG，
∵AD∥BC，CF=GF，
∴AG=AB，
∴AF=AG，
∴∠G=∠AFG=∠DFC，
∵∠CFE=∠G+∠AEF，
∴∠DFE=∠CFE+∠DFC=3∠AEF，
∴③正确；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行有关推理论证是解决问题的关键．