Question

【题目】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；

（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．

Answer 1

【答案】（1）BE=CF，理由见解析；（2）AE＝7，BE＝1

【解析】

（1）连接BD、CD，由线段垂直平分线和角平分线的性质得到DE=DF和BD=CD，再根据HL证明△BED≌△CFD，从而得到结论；

（2）根据AAS证明△AED≌△AFD，从而得到AE=AF，设BE=x，则CF=x，根据AE=AB﹣BE和AF=AC+CF得到关于x的方程，解方程，从而求得AE的长度.

（1）BE=CF，理由如下：

连接BD、CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，

∵DG⊥BC且平分BC，

∴BD=CD，

在Rt△BED与Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE=CF；

（2）在△AED和△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

设BE=x，则CF=x，

∵AB=8，AC=6，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，

∴8﹣x=6+x，

解得：x=1，即BE=1，

∴AE=AB﹣BE=8﹣1=7．