Question

1．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若BE=4，EF=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连AC，由AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，而CE⊥AB，所以∠BAC=∠BCE；由C是弧BD的中点，得到∠DBC=∠BAC，于是∠BCE=∠DBC，即可得到CF=BF．
（2）由勾股定理得BF=CF=5，则CE=8，由相似三角形性质得CE²=BE•AB，代入求出AB的值，得出半径．

解答 （1）证明：连接AC，如图，
∵C是弧BD的中点，
∴∠DBC=∠BAC，
在ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°，
∴∠BCE=∠BAC，
又C是弧BD的中点，
∴∠DBC=∠CDB，
∴∠BCE=∠DBC，
∴CF=BF．

（2）解：∵BE=4，EF=3，
∴BF=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∴CF=5，
∴CE=8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴CE²=BE•AB，
∴AB=$\frac{{CE}^{2}}{BE}$=$\frac{64}{4}$=16，
∴AO=8，
∴圆O的半径为8．

点评 本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质等，利用圆周角定理和相似三角形的性质是解此题的关键．