Question

4．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：
（1）CE=CF；
（2）四边形CEHF为菱形．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线性质求出CE=EH，求出CE=CF；
（2）首先推出EH∥CF，EH=CF，得出平行四边形CEHF，根据菱形的判定推出即可．

解答 证明：（1））∵BE平分∠CBA，
∴∠CBE=∠HBE，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠BDF，
∵∠EFC=∠DFB=90°-∠HBE，∠CEF=90°-∠CBE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF；

（2）∵CE=CF，
∵BE平分∠CBA，∠ACB=90°，EH⊥AB，
∴CE=EH，
∴CF=EH，
∵EH⊥AB，CD⊥AB，
∴CF∥EH，
∵CF=EH，CF=CE，
∴四边形CEHF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，角平分线性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是推出CF=EH，题目综合性比较强，有一定的难度．