Question

19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E
（1）求证：AC平分∠DAB
（2）连接CE，若CE=6，AC=8，直接写出⊙O直径的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线的性质和已知求出OC∥AD，求出∠OCA=∠CAO=∠DAC，即可得出答案；
（2）根据圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系求出CE=BC=6，根据勾股定理求出AB即可．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AD，
∴AD∥OC，
∴∠CAD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAD=∠CAO，
即AC平分∠DAB；

（2）解：∵∠CAD=∠CAO，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{CB}$，
∴CE=BC=6，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
即⊙O直径的长是10．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．