【题目】如图,ABCD中,M、N是BD的三等分点,连接CM并延长交AB于点E,连接EN并延长交CD于点F,以下结论:
①E为AB的中点;
②FC=4DF;
③S△ECF= ;
④当CE⊥BD时,△DFN是等腰三角形.
其中一定正确的是 .
【答案】①③④
【解析】解:∵M、N是BD的三等分点,
∴DN=NM=BM,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴△BEM∽△CDM,
∴ ,
∴BE= CD,
∴BE= AB,故①正确;
∵AB∥CD,
∴△DFN∽△BEN,
∴ = ,
∴DF= BE,
∴DF= AB= CD,
∴CF=3DF,故②错误;
∵BM=MN,CM=2EM,
∴S△BEM=S△EMN= S△CBE,
∵BE= CD,CF= CD,
∴ = ,
∴S△EFC= S△CBE= S△MNE,
∴S△ECF= ,故③正确;
∵BM=NM,EM⊥BD,
∴EB=EN,
∴∠ENB=∠EBN,
∵CD∥AB,
∴∠ABN=∠CDB,
∵∠DNF=∠BNE,
∴∠CDN=∠DNF,
∴△DFN是等腰三角形,故④正确;
所以答案是:①③④.
【考点精析】掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本,需要知道平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且AB=10cm,BC=8cm,CA=6cm,则点O到边AB的距离为( )
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm
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【题目】已知:正方形ABCD,E是BC的中点,连接AE,过点B作射线BM交正方形的一边于点F,交AE于点O.
(1)若BF⊥AE,
①求证:BF=AE;
②连接OD,确定OD与AB的数量关系,并证明;
(2)若正方形的边长为4,且BF=AE,求BO的长.
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【题目】设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当m≤x≤n时,有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”.如函数 ,当x=1时,y=3;当x=3时,y=1,即当 时,有 ,所以说函数 是闭区间[1,3]上的“闭函数”.
(1)反比例函数y= 是闭区间[1,2016]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;
(2)若二次函数y= 是闭区间[1,2]上的“闭函数”,求k的值;
(3)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”,求此函数的表达式(用含m,n的代数式表示).
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【题目】为迎接广州市青少年读书活动,某校倡议同学们利于课余时间多阅读为了解同学们的读书情况,在全校随机调查了部分同学在一周内的阅读时间,并用得到的数据绘制了统计图,根据图中信息解答下列问题:
被抽查学生阅读时间的中位数为多少小时,众数为多少小时,平均数为多少小时;
已知全校学生人数为1500人,请你估算该校学生一周内阅读时间不少于三小时的有多少人?
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【题目】周末,小明乘坐家门口的公交车到和平公园游玩,他先乘坐公交车0.8小时后达到书城,逗留一段时间后继续坐公交车到和平公园,小明出发一段时间后,小明的妈妈不放心,于是驾车沿相同的路线前往和平公园,如图是他们离家的路程与离家时间的关系图,请根据图回答下列问题:
(1)小明家到和平公园的路程为 ,他在书城逗留的时间为 ;
(2)图中点表示的意义是 ;
(3)求小明的妈妈驾车的平均速度(平均速度=).
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【题目】如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y= x刻画.
(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;
(2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;
(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.
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【题目】数学活动课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片,A种纸片是边长为a的正方形,B种纸片是边长为b的正方形,C种纸片是宽为a,长为b的长方形。用A种纸片一张,B种纸片一张,C种纸片两张拼成如图2的大正方形。
(1)请用两种不同的方式表示图2大正方形的面积。
方式1: ;
方式2: .
(2)观察图2,请你写出下列三个代数式:,,之间的等量关系。
(3)类似地,请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证:
(4)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知:,,求的值;
②已知,求的值。
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2).把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A-B-C-D…的规律绕在ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. (-1,0)B. (1,2)C. (1,-1)D. (0,-2)
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