Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．
（1）过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F．请你写出图中所有等腰三角形，并判断EF、BE、FC之间的关系，并证明你的结论；
（2）若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？若有，请写出所有的等腰三角形，若没有，请说明理由；线段EF、BE、FC之间，上面探究的结论是否还成立？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,平行线的性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的判定，可得等腰三角形，根据角平分线的性质，可得∠EBO与CBO，∠FOC与∠FCO的关系，根据平行线的性质，可得∠EOB与∠CBO，∠FOC与∠BCO的关系，根据等腰三角形的判定，可得BE与EO，CF与FO的关系，根据线段的和差，可得答案；
（2）根据等腰三角形的判定，可得等腰三角形，根据角平分线的性质，可得∠EBO与CBO，∠FOC与∠FCO的关系，根据平行线的性质，可得∠EOB与∠CBO，∠FOC与∠BCO的关系，根据等腰三角形的判定，可得BE与EO，CF与FO的关系，根据线段的和差，可得答案．

解答：解：如图（1）：
，
等腰三角形有：等腰△ABC，等腰△BEO，等腰△CFO，等腰△BOC，等腰△AEF，BE+CF=EF，理由如下：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=CBO，∠FOC=∠FCO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=EO，CF=FO．
∵EO+OF=EF，
∴BE+CF=EF；
（2）如图（2）：

有等腰三角形，BE+CF=EF仍成立，
等腰△BEO，等腰△CFO，
理由如下：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=CBO，∠FOC=∠FCO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=EO，CF=FO．
∵EO+OF=EF，
∴BE+CF=EF．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质．