Question

【题目】已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝BD，过点D作DE⊥AB于点E，过点A作AH⊥BD于点H，交DE、BC分别于点F、G，连接CF．

（1）如图1，求证：∠BAG＝∠FCB；

（2）如图2，过点A作AK平分∠DAF交ED于点K，若AK＝1，∠FCD＝45°，求DF的长；

（3）如图3，若AD＝10，DH＝6，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DF＝；（3）CF＝．

【解析】

（1）本题连接BF．设∠BAG=x，∠DAG=y，由∠BDE+∠DFH=90°，∠BAG+∠AFE=90°，∠DFH=∠AFE（对顶角相等）得∠BDE=∠BAG．再通过角之间的关系，证明∠FDC+∠FBC=180°从而得到点F、B、C、D四点共圆，所以∠FCB=∠BDE=x，可证明∠BAG=∠FCB．
（2）本题主要根据平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD，又由（1）∠BAG=∠FCB，得∠DAF=∠FCD=45°，因为AH⊥BD进而得到∠ADH=45°，这样又因为∠FAK=∠DAK=22.5°，∠ADE=∠BDE=22.5°，这样就可以利用角之间的关系找到线段之间的关系，求出DF的长．
（3）连接BF，本题主要利用勾股定理求出AH、FH的长，再在Rt△AHB和Rt△FHD中，分别表示出AB2和DF2，这样就可以在Rt△FDC中，利用勾股定理，求出CF的长度．

（1）如图1，连接BF．

设∠BAG＝x，∠DAG＝y

∵AD＝BD，DE⊥AB于点E

∴直线DE是等腰三角形的对称轴

∴∠ABF＝∠BAG＝x，∠DBF＝∠DAG＝y，∠ADE＝∠BDE

∴∠ABD＝∠BAD＝∠BAG+∠DAG＝x+y

∵AH⊥BD于点H

∴∠AHD＝90°∴∠BDE+∠DFH＝90°

∵∠BAG+∠AFE＝90°，∠DFH＝∠AFE（对顶角相等）

∴∠BDE＝∠BAG＝x

∴∠ADE＝∠BDE＝x，∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝2x

∵ABCD

∴AD∥BC，AB∥CD

∴∠DBC＝∠ADB＝2x，∠CDB＝∠ABD＝x+y

∴∠FDC＝∠BDE+∠CDB＝x+x+y＝2x+y，∠FBC＝∠DBF+∠DBC＝y+2x

∴∠FDC+∠FBC＝4x+2y

∵AB∥CD

∴∠BAD+∠ADC＝180°

∵∠BAD＝∠BAG+∠DAG＝x+y，∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝2x+x+y＝3x+y

∴x+y+3x+y＝180°

∴4x+2y＝180°

∴∠FDC+∠FBC＝4x+2y＝180°

∴点F、B、C、D四点共圆

∴∠FCB＝∠BDE＝x

∴∠BAG＝∠FCB

（2）如图2，连接BF，作FM⊥AK于点M．

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠BAD＝∠BCD

由（1）知，∠BAG＝∠FCB

∴∠DAF＝∠FCD＝45°

∵AH⊥BD

∴∠ADH＝45°

由（1）知，∠ADE＝∠BDE

∴∠ADE＝∠BDE＝22.5°

∵AK平分∠DAF

∴∠DAK＝∠FAK＝∠DAF＝22.5°

∴∠DAK＝∠ADE

∴DK＝AK＝1

∵∠AKE＝∠DAK+∠ADE＝45°，DE⊥AB

∴AE＝EK＝AK＝，∠EAK＝45°

∴∠BAG＝∠EAK﹣∠FAK＝22.5°

∴∠BAG＝∠FAK

∵FM⊥AK，FE⊥AB

∴FE＝FM

在Rt△FMK中，∠FMK＝90°，∠AKE＝45°

∴FK＝FM＝FE

∵FE+FK＝EK

∴FE+FE＝

∴FE＝

∴FK＝﹣1

∴DF＝FK+DK＝

（3）如图3，连接BF．

∵AH⊥BD，AD＝10，DH＝6

∴根据勾股定理得，AH＝8

∵BD＝AD＝10

∴BH＝BD﹣DH＝4

由（1）知，BF＝AF，设FH＝a，则BF＝AF＝8﹣a

由勾股定理得42+a2＝（8﹣a）2

∴a＝3

∴在Rt△FHD中，∠FHD＝90°

由勾股定理得DF2＝FH2+DH2＝32+62＝45

在Rt△AHB中，∠AHB＝90°

由勾股定理得AB2＝AH2+BH2＝82+42＝80

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB＝CD，AB∥CD

∴∠FDC＝∠AED

∵DE⊥AB

∴∠AED＝90°

∴∠FDC＝90°

∴在R△FDC中，根据勾股定理得CF2＝CD2+DF2＝AB2+DF2＝80+45＝125，

∴CF＝.