【题目】已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣2,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,A(﹣2,0)
(1)直接写出:a=
(2)如图1,点P在第一象限内抛物线上的一点,过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D,交AC的延长线于点Q,当△QAP与△QCD相似时,求P点的坐标;
(3)如图2,抛物线的对称轴交x轴于点M,N为第二象限内抛物线上的一点,直线NA,NB分别交y轴于D,E两点,分别交抛物线的对称轴于F,G两点.
①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值;
②若,求N点的坐标.
【答案】(1);
(2)点P的坐标为(6,4)或(,);
(3)①tan∠FAM﹣tan∠GAM=;②点N的坐标为(﹣4,4).
【解析】
(1)将点A代入抛物线即可.
(2)相似分两种情况,一种是AP∥CD,根据两直线平行k相等,再代入点A就可以求出此时直线AP的解析式,和抛物线联立就可以求出点P的坐标;另一种根据相似三角形对应边成比例,列方程求解即可.
(3)①设点N的坐标,表示线段长度,列比值算出数值即可.②转换题干中的比值,把斜线的比值转换为水平线的比值,表示线段长度,列式求解即可.
解:(1)将A(﹣2,0)代入抛物线中,得
0=4a+4a﹣2,解得.
故答案为.
(2)抛物线的解析式为,
令y=0,解得x1=﹣2,x2=4,
∴B(4,0),
令x=0,y=﹣2,
∴C(0,﹣2),
设直线AC的解析式为y=kx+b,代入点A、C,得:
解得
∴y=﹣x﹣2,
设直线BC的解析式为y=k1 x+b1,代入点点B、C,得:
解得
∴y=x﹣2,
设点P的横坐标为m,则纵坐标为,
则点D(m, m﹣2),Q(m,﹣m﹣2),
PQ=,
DQ=,
AQ=,
CQ=,
①当AP∥CD时,△APQ∽△CDQ,
设直线AP的解析式为y=x+b3,
代入点A,0=×(﹣2)+b3,解得b3=1,
∴y=x+1,
令x+1=x2﹣﹣2,
解得x1=﹣2,x2=6,
当x=6时,y=4,
∴P(6,4).
②当∠APQ=∠QCD时,△APQ∽△DCQ,
∴,
∴=
解得m1=﹣2(舍),m2=,
当x=时,y=,
∴P(,).
综上所述,点P的坐标为(6,4)或(,).
(3)①过点N作NK垂直x轴于点K,
设点N的坐标为(n,n2﹣n﹣2),
则NK=n2﹣n﹣2,AK=﹣2﹣n,BK=4﹣n,
tan∠FAM=tan∠NAK==,
tan∠GAM=tan∠GBK==,
∴tan∠FAM﹣tan∠GAM=-=.
②∵,△NED∽△NGF,
∴,
过点N向抛物线的对称轴作垂线,分别交y轴和对称轴于点J、H,
∴△NJE∽△NHG,
∴,
NJ=﹣n,NH=1﹣n,
∴4(1﹣n)=﹣5n,
解得n=﹣4,
当x=﹣4时,y=4,
∴点N的坐标为(﹣4,4).
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【题目】甲、乙两人从顺义少年宫出发,沿相同的线路跑向顺义公园,甲先跑一段路程后,乙开始出发,当乙超过甲150米时,乙停在此地等候甲,两人相遇后,乙和甲一起以甲原来的速度跑向顺义公园,如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y(米)与甲出发的时间x(秒)的函数图象,请根据题意解答下列问题.
(1)在跑步的全过程中,甲共跑了 米,甲的速度为 米/秒;
(2)求乙跑步的速度及乙在途中等候甲的时间;
(3)求乙出发多长时间第一次与甲相遇?
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【题目】如图,为等边三角形,点是线段上一动点(点不与,重合),连接,过点作直线的垂线段,垂足为点,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,.
(1)求证:;
(2)延长交于点,求证:为的中点;
(3)在(2)的条件下,若的边长为1,直接写出的最大值.
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【题目】如图,在ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F使CF=BE,连结AF,DE,DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.
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【题目】阅读下列材料:
厉害了,我的国!
近年来,中国对外开放的步伐加快,与世界经济的融合度日益提高,中国经济稳定增长是世界经济复苏的主要动力.“十二五”时期,按照2010年美元不变价计算,中国对世界经济增长的年均贡献率达到30.5%,跃居全球第一,与“十五”和“十一五”时期14.2%的年均贡献率相比,提高16.3个百分点,同期美国和欧元区分别为17.8%和4.4%.分年度来看,2011、2012、2013、2014、2015年,中国对世界经济增长的贡献率分别为28.6%、31.7%、32.5%、29.7%、30.0%,而美国分别为11.8%、20.4%、15.2%、19.6%、21.9%.
2016年,中国对世界经济增长的贡献率仍居首位,预计全年经济增速为6.7%左右,而世界银行预测全球经济增速为2.4%左右.按2010年美元不变价计算,2016年中国对世界经济增长的贡献率仍然达到33.2%.如果按照2015年价格计算,则中国对世界经济增长的贡献率会更高一点,根据有关国际组织预测,2016年中国、美国、日本经济增速分别为6.7%、1.6%、0.6%.
根据以上材料解答下列问题:
(1)选择合适的统计图或统计表将2013年至2015年中国和美国对世界经济增长的贡献率表示出来;
(2)根据题中相关信息,2016年中国经济增速大约是全球经济增速的 倍(保留1位小数);
(3)根据题中相关信息,预估2017年中国对世界经济增长的贡献率约为 ,你的预估理由是 .
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【题目】在数学活动课上,老师提出了一个问题:把一副三角尺如图摆放,直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行,60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动,在这个运动过程中,有哪些变量,能研究它们之间的关系吗?
小林选择了其中一对变量,根据学习函数的经验,对它们之间的关系进行了探究.
下面是小林的探究过程,请补充完整:
(1)画出几何图形,明确条件和探究对象;
如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6cm,D是线段AB上一动点,射线DE⊥BC于点E,∠EDF=60°,射线DF与射线AC交于点F.设B,E两点间的距离为xcm,E,F两点间的距离为ycm.
(2)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y/cm | 6.9 | 5.3 | 4.0 | 3.3 | 4.5 | 6 |
(说明:补全表格时相关数据保留一位小数)
(3)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象,解决问题:当△DEF为等边三角形时,BE的长度约为 cm.
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【题目】小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途时,自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象,那么符合小明行驶情况的大致图象是()
A.B.C.D.
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【题目】如图,1号楼在2号楼的南侧,楼间距为AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为32.3°,1号楼在2号楼墙面上的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为55.7°,1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=35m.请求出两楼之间的距离AB的长度(结果保留整数)
(参考数据:sin32.3°≈0.53,cos32.3°≈0.85,tan32.3°≈0.63,sin55.7°≈0.83,cos55.7°≈0.56,tan55.7°≈1.47)
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【题目】抛物线:与轴交于,两点(点在点左侧),抛物线的顶点为.
(1)抛物线的对称轴是直线________;
(2)当时,求抛物线的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,直线:经过抛物线的顶点,直线与抛物线有两个公共点,它们的横坐标分别记为,,直线与直线的交点的横坐标记为,若当时,总有,请结合函数的图象,直接写出的取值范围.
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