Question

【题目】如图，为等边三角形，点是线段上一动点（点不与，重合），连接，过点作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．

（1）求证：；

（2）延长交于点，求证：为的中点；

（3）在（2）的条件下，若的边长为1，直接写出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.

【解析】

（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠DAB=∠CAE，AB=AC，AD=AE，即可证△ADB≌△AEC，可得BD=CE；
（2）过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD，∠BDG=∠G，∠BFD=∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论；
（3）由题意可证点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，由直径是圆的最大弦可得EF的最大值．

证明：（1）∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，

∴，，

∴是等边三角形，

∵为等边三角形，

∴，，

∴，且，，

∴，

∴.

（2）如图，过点作，交的延长线于点，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，且，，

∴，

∴，

∴点是中点.

（3）如图，连接，

∵是等边三角形，，

∴，

∴，

∴，

∴点，点，点，点四点在以为直径的圆上，

∴最大为直径，

即最大值为1.