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【题目】如图,为等边三角形,点是线段上一动点(点不与重合),连接,过点作直线的垂线段,垂足为点,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接

1)求证:

2)延长于点,求证:的中点;

3)在(2)的条件下,若的边长为1,直接写出的最大值.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)1.

【解析】

1)由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠DAB=CAEAB=ACAD=AE,即可证ADB≌△AEC,可得BD=CE
2)过点CCGBP,交EF的延长线于点G,由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD,∠BDG=G,∠BFD=GFC,可证BFD≌△CFG,可得结论;
3)由题意可证点A,点F,点C,点E四点在以AC为直径的圆上,由直径是圆的最大弦可得EF的最大值.

证明:(1)∵将线段绕点逆时针旋转得到线段

是等边三角形,

为等边三角形,

,且

.

2)如图,过点,交的延长线于点

,且

∴点中点.

3)如图,连接

是等边三角形,

∴点,点,点,点四点在以为直径的圆上,

最大为直径,

即最大值为1.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】在正方形 ABCD 中,点 P 在射线 AB 上,连结 PC,PD,M,N 分别为 AB,PC 中点,连结 MN 交 PD 于点 Q.

(1)如图 1,当点 P 与点 B 重合时,求∠QMB 的度数;

(2)当点 P 在线段 AB 的延长线上时.

①依题意补全图2

②小聪通过观察、实验、提出猜想:在点P运动过程中,始终有QP=QM.小聪把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:

想法1延长BA到点 E,使AE=PB .要证QP=QM,只需证△PDA≌△ECB.

想法2:取PD 中点E ,连结NE,EA. 要证QP=QM只需证四边形NEAM 是平行四边形.

想 法3:过N 作 NE∥CB 交PB 于点 E ,要证QP=QM ,只要证明△NEM∽△DAP.

……

请你参考上面的想法,帮助小聪证明QP=QM. (一种方法即可)

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【题目】如图,已知RtABCAC=8AB=4,以点B为圆心作圆,当B与线段AC只有一个交点时,则B的半径的取值范围是(

A.rB =B.4 < rB

C.rB = 4 < rB D.rB为任意实数

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【题目】如图,已知抛物线分别交x轴、y轴于点A(2,0)、B(0,4),点P是线段AB上一动点,过点PPCx轴于点C,交抛物线于点D

(1)

①求抛物线的解析式;

②当线段PD的长度最大时,求点P的坐标;

(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以BPD为顶点的三角形与AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

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【题目】下面是小明设计的在一个平行四边形内作菱形的尺规作图过程.

已知:四边形是平行四边形.

求作:菱形(点上,点上).

作法:①以为圆心,长为半径作弧,交于点

②以为圆心,长为半径作弧,交于点

③连接.所以四边形为所求作的菱形.

根据小明设计的尺规作图过程,

1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

2)完成下面的证明.

证明:∵

      

中,

∴四边形为平行四边形.

∴四边形为菱形(   )(填推理的依据).

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【题目】在正方形 ABCD 中,M BC 边上一点,且点 M 不与 B、C 重合,点 P 在射线 AM 上,将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ,连接BP,DQ.

(1)依题意补全图 1;

(2)①连接 DP,若点 P,Q,D 恰好在同一条直线上,求证:DP2+DQ2=2AB2

若点 P,Q,C 恰好在同一条直线上,则 BP AB 的数量关系为:

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【题目】某校诗词知识竞赛培训活动中,在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验,他们的10次成绩如下(单位:分):整理、分析过程如下,请补充完整.

1)按如下分数段整理、描述这两组数据:

成绩x

学生

70≤x≤74

75≤x≤79

80≤x≤84

85≤x≤89

90≤x≤94

95≤x≤100

______

______

______

______

______

______

1

1

4

2

1

1

2)两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示:

学生

极差

平均数

中位数

众数

方差

______

83.7

______

86

13.21

24

83.7

82

______

46.21

3)若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛,你会选______(填乙),理由为______

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【题目】已知抛物线yax22ax2,与x轴交于AB两点,与y轴交于点CA(﹣20

1)直接写出:a   

2)如图1,点P在第一象限内抛物线上的一点,过点Px轴的垂线交CB的延长线于点D,交AC的延长线于点Q,当QAPQCD相似时,求P点的坐标;

3)如图2,抛物线的对称轴交x轴于点MN为第二象限内抛物线上的一点,直线NANB分别交y轴于DE两点,分别交抛物线的对称轴于FG两点.

①求tanFAMtanGAM的值;

②若,求N点的坐标.

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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,弦CDAB于点EF是弧AD上的一点,AFCD的延长线相交于点G

1)若⊙O的半径为3,且∠DFC45°,求弦CD的长.

2)求证:∠AFC=∠DFG

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