【题目】如图,为等边三角形,点是线段上一动点(点不与,重合),连接,过点作直线的垂线段,垂足为点,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,.
(1)求证:;
(2)延长交于点,求证:为的中点;
(3)在(2)的条件下,若的边长为1,直接写出的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)1.
【解析】
(1)由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠DAB=∠CAE,AB=AC,AD=AE,即可证△ADB≌△AEC,可得BD=CE;
(2)过点C作CG∥BP,交EF的延长线于点G,由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG=BD,∠BDG=∠G,∠BFD=∠GFC,可证△BFD≌△CFG,可得结论;
(3)由题意可证点A,点F,点C,点E四点在以AC为直径的圆上,由直径是圆的最大弦可得EF的最大值.
证明:(1)∵将线段绕点逆时针旋转得到线段,
∴,,
∴是等边三角形,
∵为等边三角形,
∴,,
∴,且,,
∴,
∴.
(2)如图,过点作,交的延长线于点,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,且,,
∴,
∴,
∴点是中点.
(3)如图,连接,
∵是等边三角形,,
∴,
∴,
∴,
∴点,点,点,点四点在以为直径的圆上,
∴最大为直径,
即最大值为1.
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【题目】在正方形 ABCD 中,点 P 在射线 AB 上,连结 PC,PD,M,N 分别为 AB,PC 中点,连结 MN 交 PD 于点 Q.
(1)如图 1,当点 P 与点 B 重合时,求∠QMB 的度数;
(2)当点 P 在线段 AB 的延长线上时.
①依题意补全图2
②小聪通过观察、实验、提出猜想:在点P运动过程中,始终有QP=QM.小聪把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1延长BA到点 E,使AE=PB .要证QP=QM,只需证△PDA≌△ECB.
想法2:取PD 中点E ,连结NE,EA. 要证QP=QM只需证四边形NEAM 是平行四边形.
想 法3:过N 作 NE∥CB 交PB 于点 E ,要证QP=QM ,只要证明△NEM∽△DAP.
……
请你参考上面的想法,帮助小聪证明QP=QM. (一种方法即可)
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【题目】如图,已知Rt△ABC,AC=8,AB=4,以点B为圆心作圆,当⊙B与线段AC只有一个交点时,则⊙B的半径的取值范围是( )
A.rB =B.4 < rB ≤
C.rB = 或4 < rB ≤D.rB为任意实数
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【题目】如图,已知抛物线分别交x轴、y轴于点A(2,0)、B(0,4),点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.
(1)若.
①求抛物线的解析式;
②当线段PD的长度最大时,求点P的坐标;
(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
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【题目】下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程.
已知:四边形是平行四边形.
求作:菱形(点在上,点在上).
作法:①以为圆心,长为半径作弧,交于点;
②以为圆心,长为半径作弧,交于点;
③连接.所以四边形为所求作的菱形.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:∵,,
∴ = .
在中,.
即.
∴四边形为平行四边形.
∵,
∴四边形为菱形( )(填推理的依据).
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【题目】在正方形 ABCD 中,M 是 BC 边上一点,且点 M 不与 B、C 重合,点 P 在射线 AM 上,将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AQ,连接BP,DQ.
(1)依题意补全图 1;
(2)①连接 DP,若点 P,Q,D 恰好在同一条直线上,求证:DP2+DQ2=2AB2;
②若点 P,Q,C 恰好在同一条直线上,则 BP 与 AB 的数量关系为: .
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【题目】某校诗词知识竞赛培训活动中,在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验,他们的10次成绩如下(单位:分):整理、分析过程如下,请补充完整.
(1)按如下分数段整理、描述这两组数据:
成绩x 学生 | 70≤x≤74 | 75≤x≤79 | 80≤x≤84 | 85≤x≤89 | 90≤x≤94 | 95≤x≤100 |
甲 | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
乙 | 1 | 1 | 4 | 2 | 1 | 1 |
(2)两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示:
学生 | 极差 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
甲 | ______ | 83.7 | ______ | 86 | 13.21 |
乙 | 24 | 83.7 | 82 | ______ | 46.21 |
(3)若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛,你会选______(填“甲”或“乙),理由为______.
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【题目】已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣2,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,A(﹣2,0)
(1)直接写出:a=
(2)如图1,点P在第一象限内抛物线上的一点,过点P作x轴的垂线交CB的延长线于点D,交AC的延长线于点Q,当△QAP与△QCD相似时,求P点的坐标;
(3)如图2,抛物线的对称轴交x轴于点M,N为第二象限内抛物线上的一点,直线NA,NB分别交y轴于D,E两点,分别交抛物线的对称轴于F,G两点.
①求tan∠FAM﹣tan∠GAM的值;
②若,求N点的坐标.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,F是弧AD上的一点,AF,CD的延长线相交于点G.
(1)若⊙O的半径为3,且∠DFC=45°,求弦CD的长.
(2)求证:∠AFC=∠DFG.
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