Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N．点P是线段MN上的一动点，过点P作PE⊥CP交x轴于点E．

（1）直接写出抛物线的顶点M的坐标是 ．

（2）当点E与点O（原点）重合时，求点P的坐标．

（3）点P从M运动到N的过程中，求动点E的运动的路径长．

Answer 1

【答案】（1）M（1，4）；（2）点P的坐标为：（1，）或（1，）；（3）E的运动的路径长为：．

【解析】

试题分析：（1）将解析式配成顶点式即可．（2）当点E与O重合时，设PN=m，过点C作CF⊥MN于F，由△ENP∽△PFC用相似比例建立方程解之即可．（3）找到左右两个极端位置即可．P在M点时，E在右边最运处，这个时候求出EN为对称轴右边的路径长度；E点在左侧时，设EN=y，PN=x，由△ENP∽△PFC列出比例方程，得到y关于x的二次函数，配方求出最大值，再加上右边路径长度即为总路径长度．

试题解析：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴M（1，4）；

（2）当点E与O重合时，EN=1，设PN=m，

过点C作CF⊥MN，垂足为F，如图1，

∵∠EPC=90°，

∴∠EPN+∠NEP=∠EPN+∠CPF=90°，

∴∠CPF=∠PEN，

∴△ENP∽△PFC

∴ ，即：，

解得：m=

∴点P的坐标为：（1，）或（1，）

（3）①当点P与M重合时，如图2，

由△ENM∽△MFC可知，，

∴EN=4，

即当点P从M运动到F时，点E运动的路径长EN为4；

②当点P从F运动到N时，点E从点N向左运动到某最远点后，回到点N结束．如图3，

设EN=y，PN=x，

由△ENP∽△PFC可知， ，即：，

∴y= ，

当x= 时，y有最大值，为 ；

∴E的运动的路径长为：．