Question

【题目】定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．

（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°．

①若AB＝CD＝1，AB∥CD，则对角线BD的长为 ；

②若AC⊥BD，求证：AD＝CD；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点是对角线上一点，且，过点作直线分别交边于点，使四边形是等腰直角四边形．直接写出的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②见解析；（2）5或6.5.

【解析】

（1）①根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形ABCD是平行四边形；根据邻边相等的平行四边形是菱形可证得四边形ABCD是菱形；根据有一个角是直角的菱形是正方形可证得四边形ABCD是正方形,从而求出对角边即可.

②根据全等三角形的判定定理可得出三角形全等，然后得出对应边相等即可.

（2）紧抓等腰直角四边形的概念，分类讨论，先根据图形定义可直接得出AE的长度，再结合相似三角形的性质和判定定理可求出AE的长度.

解：（1）①∵AB＝CD，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴BD=AC==

所以答案为.

②如图1，连接AC，BD，

∵AB＝BC，AC⊥BD，

∴∠ABD＝∠CBD，

又∵BD＝BD，

∴△ABD≌△CBD，

∴AD＝CD.

（2）

因为四边形ABFE是等腰直角四边形，

所以可以是AB=AE或AB=BF.

当AB=AE时，AE=AB=5,

当AB=BF时，BF=5

∵DE∥BF，

∴△DPE∽△BPF，

∴，

∴DE=2.5

∴AE=9-2.5=6.5

综上，AE结果为5或6.5.