Question

如图，△AOB为等边三角形，C为AO延长线上一定点，∠BCD=60°，CD与过A点且平行于OB的直线交于D．
（1）求∠OBC和∠ACD的关系；
（2）求证：CB=CD；
（3）求AC、AD、OA之间的关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：认真阅读明确题意，抓住命题中给出的关键信息；
（1）较为简单，借助外角定理即可解决；
（2）（3）为探究线段之间的数量关系问题，常常借助全等三角形来解决．

解答：（1）解：∠OBC=∠ACD，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，∠BCD=60°，
∴∠BOA=∠BCD=60°．
∵∠BOA是△BOC的外角，
∴∠BOA=∠BCO+∠OBC=60°．
∵∠BCD=∠BCO+∠ACD=60°，
∴∠OBC=∠ACD；
（2）证明：如图：连接BD．
由（1）知∠BAD=∠BAC+∠DAC=120°，
而∠BCD=60°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，四边形ABCD四点共圆；
∴∠BDA=∠BCO；
∵∠BOC=180°-60°=120°，∠BAD=120°，
∴∠BAD=∠BOC；
∵AB=BC，
根据AAS定理，∴△BAD≌△BOC，
故CB=CD
（3）∵△BAD≌△BOC，
∴OC=AD；
∵AC=AO+OC，∴AC=AO+AD

点评：该命题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；三个小问题的设置由易到难、层层递进；对培养学生的探究能力提出了较高的要求；而作出辅助线，构造出一对全等等三角形又成为解题的关键．