Question

14．在平行四边形ABCD中，CA=CB=AD，过B作BG⊥AC于G，过D作DF⊥BC于F，且BC上一点E满足DE=DG；
（1）求证：AG=CF；
（2）求证：CG=EF+CF．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，根据平行线性质，等腰三角形性质和已知推出∠1=∠3，求出∠BGA=∠F=90°，根据AAS推出△ABG≌△CDF即可；
（2）在CG上截取CH，使CH=CF，连结DH，根据全等三角形的判定证出△DCH≌△DCF，根据全等三角形的性质推出DH=DF，根据全等三角形的判定得出Rt△DHG≌Rt△DFE，推出EF=HG，即可得出答案．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABC=∠3，
∵AC=BC，
∴∠1=∠ABC，
∴∠1=∠3，
∵BG⊥AC，DF⊥BC，
∴∠BGA=∠F=90°，
在△ABG和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGA=∠F}\\{∠1=∠3}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△CDF（AAS），
∴AG=CF；


（2）在CG上截取CH，使CH=CF，连结DH，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠ABC=∠3，
∵AC=BC，
∴∠1=∠ABC，
∴∠2=∠3，
在△DCH和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DC}\\{∠2=∠3}\\{CH=CF}\end{array}\right.$
∴△DCH≌△DCF（SAS），
∴DH=DF，
∵∠F=∠DHG=90°，
∴在Rt△DHG和Rt△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{DH=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△DHG≌Rt△DFE（HL），
∴EF=HG，
∵CF=CH，
∴CG=GH+CH=EF+CF．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．