Question

7．已知正方形ABCD中，AB=5，E是BC上的一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交CD于点F．当E点在BC边上运动时，设线段BE的长为x，线段CF的长为y．
（Ⅰ）求y关于x的函数解析式及其定义域；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所得y关于x的函数图象，求当BE的长为何值时，线段CF最长，并求此时CF的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意易得△CEF∽△BAE，根据对应边成比例，可得y关于x的函数解析式，根据BC的长确定定义域即可；
（Ⅱ）用配方法求得二次函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°．
又∵∠CEA=∠CEF+∠AEF，∠CEA=∠BAE+∠B，
∴∠CEF=∠BAE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△CEF∽△BAE，
∴$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CE}{AB}$，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{5-x}{x}$，
∴y=-$\frac{1}{5}$x²+x（0＜x＜5）；

（Ⅱ）y=-$\frac{1}{5}$x²+x=-$\frac{1}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²$+\frac{5}{4}$
根据函数图象可知，抛物线y=-$\frac{1}{5}$x²+x=-$\frac{1}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²$+\frac{5}{4}$，
开口向下，抛物线的顶点坐标是它的最高点、且x=$\frac{5}{2}$在函数的定义域内．
所以当BE的长为$\frac{5}{2}$时，CF的长最大为$\frac{5}{4}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定及性质的应用、二次函数的最值求法、直角三角形中锐角函数值的求法等知识点．