Question

【题目】如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=4 ．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC交BD于点E，
∵∠B=30°，
∴∠COD=2∠B=60°，
又∵∠A=30°，
∴∠ACO=90°，
即OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线.


（2）解：∵AC∥BD，∠ACO=90°，
∴∠OED=∠ACO，
即OC⊥BD，
又∵BD=4，
∴DE=BD=2，
又∵sin∠OCD=sin60°=，
∴，
∴OD=4，
又∵tan∠OCD=tan60°=，
∴，
∴AC=4，
∴S阴=S△OAC-S扇形OCD
∴S阴=×AC×OC-，
∴S阴=×4×4-，
∴S阴=8-.

【解析】（1）连接OC交BD于点E，由同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍得出∠COD=2∠B=60°，从而得出∠ACO=90°，即AC是⊙O的切线.
（2）由两直线平行，同位角相等得出∠OED=∠ACO=90°，再根据垂径定理得出DE=BD=2，在Rt△ODE和Rt△OAC中，由锐角三角函数得出
OD=4，AC=4，再由S阴=S△OAC-S扇形OCD计算即可.