Question

如图，已知，∠B=∠C=90°，点E是BC边上的中点，DE平分∠ADC，结论：①AE平分∠DAB；②AE⊥DE；③AE=DE；④S_梯形ABCD=

1

2

AD•BC；⑤S_梯形ABCD=2•S_△ADE
（1）你认为正确的结论是

 

（写番号）
（2）选择你认为正确的一个结论证明．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过E作EF⊥AD，则可得EC=EF=BE，根据角平分线的判定可判定①正确，再根据角平分线的定义可判定②正确，根据面积可判定④⑤正确，可得到答案；
（2）可选①，利用角平分线的判定证明即可．

解答：解：（1）如图，过E作EF⊥AD于点F，

∵DE平分∠ADC，∠C=90°，
∴EC=EF，
又∵E为BC中点，
∴EF=BE，
∵∠B=90°，
∴BE⊥AB，
∴AE平分∠DAB，
∴①正确；
∵∠C=∠B，
∴AB∥CD，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴2∠CAD+2∠ADE=180°，
∴∠CAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，即AE⊥DE，
∴②正确；
∴若AE=DE则∠EDA=∠EDC=45°，则∠ADC=90°，与条件不相符合，
∴③不正确；
在△CED和△FED中，

∠C=∠EFD ∠FDE=∠CDE DE=DE

，
∴△CED≌△FED（AAS），
同理可得△AEF≌△AEB，
∴S_梯形ABCD=2（S_△EFD+S_△EFA）=2S_△AED，
∴⑤正确；
又S_△AED=

1

2

AD•EF，EF=

1

2

BC，
∴S_梯形ABCD=AD•EF=

1

2

AD•BC，
∴④正确；
综上可知正确的为①②④⑤，
故答案为：①②④⑤；
（2）选①证明：
如图，过E作EF⊥AD于点F，

∵DE平分∠ADC，∠C=90°，
∴EC=EF，
又E为BC中点，
∴EF=BE，
∵∠B=90°，
∴BE⊥AB，
∴AE平分∠DAB．

点评：本题主要考查角平分线的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．注意全等三角形的判定和性质的应用．