Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（不与点B、C重合），延长AE到点F，连接BF，且∠AFB＝45°，G为DC边上一点，且DG＝BE，连接DF，点F关于直线AB的对称点为M，连接AM、BM．

（1）依据题意，补全图形；

（2）求证：∠DAG＝∠MAB；

（3）用等式表示线段BM、DF与AD的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) BM2+DF2＝2AD2；证明见解析.

【解析】

（1）由题意画出图形即可；
（2）由SAS证明△ABE≌△ADG得出∠BAE=∠DAG，由对称的性质得出∠BAE=∠MAB，即可得出∠DAG=∠MAB；
（3）连接BD，延长MB交AG的延长线于点N，由SAS证明△BAN≌△DAF得出∠N=∠AFD=45°，得出∠BFD=90°，由勾股定理得出BF2+DF2=BD2，即可得出结论．

（1）如图1所示：

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADG＝90°，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE＝∠DAG，

∵点F关于直线AB的对称点为M，

∴∠BAE＝∠MAB，

∴∠DAG＝∠MAB；

（3）BM2+DF2＝2AD2；理由如下：

连接BD，延长MB交AG的延长线于点N，如图2所示：

∵∠BAD＝90°，∠DAG＝∠MAB，

∴∠MAN＝90°，

由对称性可知：∠M＝∠AFB＝45°，

∴∠N＝45°，

∴∠M＝∠N，

∴AM＝AN，

∵AF＝AM，

∴AF＝AN，

∵∠BAE＝∠DAG，

∴∠BAN＝∠DAF，

在△BAN和△DAF中，

，

∴△BAN≌△DAF（SAS），

∴∠N＝∠AFD＝45°，

∴∠BFD＝90°，

∴BF2+DF2＝BD2，

∵BDAD，BM＝BF，

∴BM2+DF2＝2AD2．