Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为D，连接BD，过点B作射线PD的垂线，垂足为C．

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）如果AB＝6，sin∠CBD，求PD的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】

（1）连接OD，证明OD∥BC，再由OB=OD证明∠OBD=∠ODB，进而得结论；
（2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，解直角三角形得到BD=4，BC=，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：连接OD，如图1，

∵PD是⊙O的切线，

∴OD⊥PC，

∵BC⊥PC，

∴OD∥BC，

∴∠ODB＝∠CBD，

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠CBD＝∠OBD，

即BD平分∠ABC；

（2）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵sin∠CBD＝sin∠ABD，AB＝6，

∴AD＝2，

∴BD＝4，

∵sin∠CBD，

∴CD，

∴BC，

∵OD∥BC，

∴△PDO∽△PCB，

∴，

∴，

∴PD．