Question

【题目】综合与实践

问题情境：如图1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，并连接CE，BD．

操作发现：（1）当等腰Rt△ADE绕点A旋转，如图2，勤奋小组发现了：

①线段CE与线段BD之间的数量关系是　 　．

②直线CE与直线BD之间的位置关系是　 　．

类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3，若△ABC与△ADE都为直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AC＝2AB，AE＝2AD，请你写出CE与BD的数量关系和位置关系，并加以证明．

拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线AB上方时，若DE∥AB，且AB＝，AD＝1，其他条件不变，试求出线段CE的长．（直接写出结论）

Answer 1

【答案】（1）EC=BD; BD⊥EC;(2) CE＝2BD，CE⊥BD．理由见解析；（3）4.

【解析】

（1）如图2中，延长BD交AC于点O，交EC于H．证明△EAC≌△DAB（SAS），即可解决问题．

（2）结论：CE＝2BD，CE⊥BD．如图3中，延长BD交AC于点O，交EC于点H．证明△ABD∽△ACE，即可解决问题．

（3）如图4中，当DE∥AB时，设DE交AC于H，易证AC⊥DE．求出EH，CH，理由勾股定理即可解决问题．

（1）如图2中，延长BD交AC于点O，交EC于H．

∵AE＝AD，AC＝AB，∠EAD＝∠CAB＝90°，

∴∠EAC＝∠DAB，

∴△EAC≌△DAB（SAS），

∴EC＝BD，∠ECA＝∠ABD，

∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠COH，

∴∠ECA+∠COH＝90°，

∴∠CHO＝90°，

∴BD⊥EC，

故答案为EC＝BD，BD⊥EC．

（2）结论：CE＝2BD，CE⊥BD．

理由：如图3中，延长BD交AC于点O，交EC于点H．

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AC＝2AB，AE＝2AD，

∴，

∴△ABD∽△ACE，

∴，

∴CE＝2BD，∠ABD＝∠ACE，

∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠COH，

∴∠ECA+∠COH＝90°，

∴∠CHO＝90°，

∴BD⊥EC．

（3）如图4中，当DE∥AB时，设DE交AC于H，易证AC⊥DE．

∵AE＝2AD，AD＝1，

∴AE＝2，DE＝，，，

∵AC＝2AB，AB＝，

∴CH＝AC﹣AH＝，

在Rt△ECH中，EC＝．