Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，E是CD上一点，∠FBE＝45°，则tan∠FEB的值是_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

根据正方形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，则可把△BAE绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，如图，根据旋转的性质得∠BCG＝∠BAF＝90°，∠FBG＝∠ABC＝90°，AF＝CG，所以点G、C、F共线，再利用“SAS”证明△BFE≌△BGE，得到∠FEB＝∠GEB，设正方形的边长为2a，CE＝x，则AF＝DF＝a，CG＝AF＝a，DF＝2a﹣x，EF＝EG＝x+a，在Rt△DEF中，利用勾股定理得到a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2，解得x＝a，然后在Rt△BCF中，根据正切的定义得tan∠BEC＝＝3，即tan∠FEB的值为3．

∵四边形ABCD为正方形，

∴BA＝BC，∠ABC＝90°，

把△BAF绕点B顺时针旋转90°得到△BCG，如图，

∴∠BCG＝∠BAF＝90°，∠FBG＝∠ABC＝90°，AF＝CG，

∴点G、C、E共线，

∵∠EBF＝45°，

∴∠GBE＝45°，BG＝BF，

在△BEF和△BGE中，

，

∴△BEF≌△BGE（SAS），

∴∠FEB＝∠GEB，

设正方形的边长为2a，CE＝x，则AF＝DF＝a，CG＝AF＝a，DF＝2a﹣x，EF＝EG＝x+a，

在Rt△DEF中，∵DF2+DE2＝EF2，

∴a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2，

解得x＝a，

在Rt△BCE中，

tan∠CEB＝，

∴tan∠FEB＝3．

故答案为3．