【题目】如图，将一个直角三角形纸片
，放置在平面直角坐标系中，点
，点
，点
.将
沿
翻折得到
（点
为点
的对应点）.
（Ⅰ）求的长及点的坐标；
（Ⅱ）点
是线段
上的点，点
是线段
上的点.
①已知
，
，
是
轴上的动点，当
取最小值时，求出点的坐标及点到直线
的距离；
②连接
，
，且
，现将
沿
翻折得到
（点
为点
的对应点），再将
绕点顺时针旋转，旋转过程中，射线，交直线
分别为点
，
，最后将
沿
翻折得到
（点
为点的对应点），连接
，若
，求点的坐标（直接写出结果即可）.
【答案】（Ⅰ）
，
点坐标为
；（Ⅱ）①点
的坐标为
，点到直线
的距离为
；②
或
或
.
【解析】
（Ⅰ）根据A点坐标和翻折的性质可得四边形OBAD为正方形，即可得出D点坐标，再利用勾股定理得出OA的长.
（Ⅱ）①作点
关于
轴的对称点
，连接
与轴交于点
，则点即为所求，再根据待定系数法确定直线的解析式，求出直线与x轴的交点的坐标，再根据等积法求出点
到直线
的距离即可.
②分(a)当点M在线段EA的延长线上，点N在线段AE时，（b）当点M，N在线段EA上时，(c)当点M在线段EA上，点N在AE的延长线上时，三种情况进行讨论，作MH⊥OB于H，GK⊥EB于K,然后证明△AMH≌△GAK，推出HM=EH=BK，BH=GK，所以BH=EK=GK，从而得出∠MEG=90°，由NE：EG=5：12，设NE=5k，EG=12k，则MN=NG=13k，EM=18k，可得BH=GK=EK=6
k，EH=MH=9k，再根据HE=AH+AE，得出关于k的方程，得出k的值即可解决问题；
解：（Ⅰ）如图，∵
，
，
∴
，
.
在
中，
.
∵
，
∴
.
∵将
沿
翻折得到
，
∴
.
∴
∴点落在
轴上.点坐标为
.
（Ⅱ）①如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接
，若在轴上任取点
（与点不重合）．连接
，
，
，
由
，
可知
最小.
∵将沿翻折得到.
∴
，
∵
，
.
∴
.
∵
，
∴
.
设直线
的方程为
.
将的坐标代入，
得
，
解得
.
∴直线的方程为
当
时，
，
∴当取最小值时，点的坐标为
.
在
中，
，
.
∴
.
过点作
，垂足为点
，
∵
，
∴
∴当取最小值时，点到直线的距离为
.
②(a)如图3中，当点M在线段EA的延长线上，点N在线段AE时，
作MH⊥OB于H，GK⊥EB于K,
由翻折可知：∠MBN=∠NBG=45°，BM=BG，
∴∠MBG=90°，
∵∠MHB=∠K=90°，
∴∠MBH+∠GBK=90°，∠HBM+∠BMH=90°，
∴∠BMH=∠GBK，
∴△BMH≌△GBK，
∴HM=EH=BK，BH=GK，
∴BH=EK=GK，
∴∠GEK=∠BEA=45°，
∴∠MEG=90°，
∵NE：EG=5：12，设NE=5k，EG=12k，则MN=NG=13k，EM=18k，
∴BH=GK=EK=6k，EH=MH=9k，
∵HE=BH+BE，
∴9k=6k+3，
∴k=
，∴EH=MH=9,
∴OH=3．∴点
的坐标为
（b）如图4中，当点M，N在线段EA上时，同法可得：点的坐标为
.
（c）如图5中，当点M在线段EA上，点N在AE的延长线上时，同法可得：点的坐标为
．
综上所述，点的坐标或或．
科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝5，BC＝12，求菱形AFCE的面积．
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A、B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗5棵，B种树苗3棵，需要840元；购买A种树苗3棵，B种树苗5棵，需要760元．
（1）求购买A、B两种树苗每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于30棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过10000元，现需购进这两种树苗共100棵，怎样购买所需资金最少？
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A.3B.4C.5D.6
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在菱形
中，
，
，点
是这个菱形内部或边上的一点，若以点，
，
为顶点的三角形是等腰三角形，则，
（，两点不重合）两点间的最短距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】下面是小明主设计的“作一个含30°角的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：直线l．
求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．
作法：如图，
①在直线l上任取两点O，A；
②以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；
③以点A为圆心，AO长为半径画弧，交
于点C；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：在⊙O中，AB为直径，
∴∠ACB＝90°（① ），（填推理的依据）
连接OC
∵OA＝OC＝AC，
∴∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°（② ），（填推理的依据）
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（不与点B、C重合），延长AE到点F，连接BF，且∠AFB＝45°，G为DC边上一点，且DG＝BE，连接DF，点F关于直线AB的对称点为M，连接AM、BM．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：∠DAG＝∠MAB；
（3）用等式表示线段BM、DF与AD的数量关系，并证明．
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，以A（0， 
）为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O，与y轴相交于点B，弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E，且∠BEO＝60°，AD的延长线交x轴于点C．
（1）分别求点E、C的坐标；
（2）求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；
（3）设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心，ME为半径的圆与⊙A的位置关系，并说明理由．
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
