Question

【题目】如图，E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边之中点．

(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；

(2)当AC、BD满足______时，四边形EFGH为矩形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC⊥BD

【解析】

（1）连接BD，根据中位线的性质可得EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG=，从而得出EH∥FG，EH= FG，然后根据平行四边形的判定定理即可证出结论；

（2）当AC⊥BD时，连接AC，根据中位线的性质可得EF∥AC，从而得出EF⊥BD，然后由（1）的结论可证出EF⊥EH，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证出结论．

（1）证明：连接BD

∵E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边的中点

∴EH是△ABD的中位线，FG是△CBD的中位线

∴EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG=

∴EH∥FG，EH= FG

∴四边形EFGH为平行四边形；

（2）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形，理由如下

连接AC，

∵E、F为BA和BC的中点

∴EF为△BAC的中位线

∴EF∥AC

∵AC⊥BD

∴EF⊥BD

∵EH∥BD

∴EF⊥EH

∴∠FEH=90°

∵四边形EFGH为平行四边形

∴四边形EFGH为矩形

故答案为：AC⊥BD．