Question

19．如图1所示，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高．
（1）若∠B＜∠C，试探究∠DAE与$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）之间的大小关系，并说明理由．
（2）若将点A移动到点A′，A′E⊥BC于点E，此时∠DAE变为∠DA′E，如图2，直接写出（1）中的结论是否还成立．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE+∠C=90°，再根据角平分线定义得出∠CAD=∠BAD，然后根据∠DAE=∠CAD-∠CAE进行计算即可得解；
（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

解答 解：（1）∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）
理由：∵AE⊥BC，
∴∠CAE=90°-∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC-（90°-∠C）=$\frac{1}{2}$-90°+∠C=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）；

（2）∠DA′E=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），
∵∠A′DE=∠B+∠BAD
=∠B+$\frac{1}{2}$∠BAC
=∠B+$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）
=90°+$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE
=180°-90°-（90°+$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C）
=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系是解题的关键．