Question

11．已知抛物线y=x²-4x+m与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求m的取值范围；
（2）如果A、B两点分别在原点的左右两侧，且5OB•OA=OC²，求m的值；
（3）在第（2）的条件下，直接写出不等式x²-4x+m≥0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到b²-4ac=16-4m＞0，解不等式即可求得；
（2）根据题意可得出-5x₁x₂=OC²，利用根与系数的关系列出关系式，即可求出m的值；
（3）求得函数y=x²-4x-5与x轴的交点坐标，结合函数的性质即可求得不等式x²-4x+m≥0的解集．

解答 解：（1）根据题意：b²-4ac=16-4m＞0，
解得，m＜4；
（2）∵抛物线y=x²-4x+m与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，
∴x₁x₂=m，
∵5OB•OA=OC²，
∴-5x₁x₂=m²，
∴-5m=m²，解得m₁=0（舍去），m₂=-5，
∴m=-5；
（3）∵函数y=x²-4x-5与x轴的交点为（5，0）（-1，0），
∴不等式x²-4x+m≥0的解集为x＜-1或x＞5．

点评 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了根与系数的关系函数和不等式的关系．