Question

1．如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD=90°且AB=2AD，DC⊥l₄，
（1）过B点作BH⊥l₁，过D点作DE⊥l₁，求证：△BAH∽△ADE．
（2）求AD、AB的长．
（3）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质，以及AA可证△BAH∽△ADE；    
（2）根据相似三角形的性质可得BF=HE=AH+AE=2+2=4，在Rt△ADE中，根据勾股定理可得AD的长，进一步即可得到AB的长；
（3）过D点作DC⊥l₅于F，连接BD，根据四边形ABCD的面积=S_△ABD+S_△BCD．列式计算即可求解．

解答 解：（1）∵DC⊥l₄，l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅，
∴DC⊥l₁，DC⊥l₅，
∴∠BHA=∠DEA=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAH+∠DAE=90°，
∴∠ABH=∠DAE，
∴△BAH∽△ADE；    
（2）∵△BAH∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BH}{AE}$=$\frac{AH}{DE}$，
∵AB=2AD，BH=4，DE=1，
∴AE=2，AH=2，
∴BF=HE=AH+AE=2+2=4，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AB=2AD=2$\sqrt{5}$；
（3）过D点作DC⊥l₅于F，连接BD．
S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$AB•AD+$\frac{1}{2}$CD•BF  
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×5+×2×4
=9．
所以四边形ABCD的面积为9．

点评 考查了相似形综合题，涉及的知识点有：相似三角形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．