Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．

（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；

（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；

（3）在运动过程中，当t取何值时，△EPQ与△ADC相似．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2秒；（3）2秒或秒或秒．

【解析】

（1）由题意通过计算发现EQ＝FQ＝6，由此即可证明；

（2）根据题意利用三角形的面积建立方程即可得出结论；

（3）由题意分点E在Q的左侧以及点E在Q的右侧这两种情况，分别进行分析即可得出结论．

解：（1）证明：若运动时间t＝秒，则

BE＝2×＝（cm），DF＝（cm），

∵四边形ABCD是矩形

∴AD＝BC＝8（cm），AB＝DC＝6（cm），∠D＝∠BCD＝90°

∵∠D＝∠FQC＝∠QCD＝90°，

∴四边形CDFQ也是矩形，

∴CQ＝DF，CD＝QF＝6（cm），

∴EQ＝BC﹣BE﹣CQ＝8﹣﹣＝6（cm），

∴EQ＝QF＝6（cm），

又∵FQ⊥BC，

∴△EQF是等腰直角三角形；

（2）由（1）知，CE＝8﹣2t，CQ＝t，

在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，

在Rt△CPQ中，tan∠ACB＝＝＝，

∴PQ＝t，

∵△EPC的面积为3cm2，

∴S△EPC＝CE×PQ＝×（8﹣2t）×t＝3，

∴t＝2秒，

即t的值为2秒；

（3）解：分两种情况：

Ⅰ．如图1中，点E在Q的左侧．

①∠PEQ=∠CAD时，△EQP∽△ADC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∵△EQP∽△ADC，

∴∠CAD=∠QEP，

∴∠ACB=∠QEP，

∴EQ=CQ，

∴CE=2CQ，

由（1）知，CQ=t，CE=8-2t，

∴8-2t=2t，

∴t=2秒；

②∠PEQ=∠ACD时，△EPQ∽△CAD，

∴，

∵FQ⊥BC，

∴FQ∥AB，

∴△CPQ∽△CAB，

∴，即，

解得：，

∴，

解得：；

Ⅱ．如图2中，点E在Q的右侧．

∵0＜t＜4，

∴点E不能与点C重合，

∴只存在△EPQ∽△CAD，

可得，即，

解得：；

综上所述，t的值为2秒或秒或秒时，△EPQ与△ADC相似．