Question

【题目】如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有_____（填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC＝60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，求出∠PBQ＝60°，即可判断①；

②根据勾股定理的逆定理即可判断得出②；

③根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断；

④求出∠APC＝150°﹣∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断④．

解：①∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵△BQC≌△BPA，

∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，

∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，

∴△BPQ是等边三角形，

所以①正确；

②PQ＝PB＝4，

PQ2+QC2＝42+32＝25，

PC2＝52＝25，

∴PQ2+QC2＝PC2，

∴∠PQC＝90°，

∴△PCQ是直角三角形，

所以②正确；

③∵△BPQ是等边三角形，

∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，

∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，

所以③正确；

④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，

∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，

∴∠QPC≠30°，

∴∠APC≠120°．

所以④错误．

所以正确的有①②③．

故答案为：①②③．