【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(0,4a),B(3a,0),△AOB的面积是150.
(1)求点A的坐标;
(2)点P是射线AB上的一点,点P的横坐标为t,连接PO,若△PBO的面积为S,试用含有t的式子表示S.
(3)在(2)的条件下,若点P在第一象限内,且S△PBO=126,过P作PE⊥AB,交y轴于点D,交x轴于点E,且OB=OD,连接AE,M为AE上一点,连接OM交PE于点N,若∠EMN+∠ABE=180°,求点N的坐标.
【答案】(1)A(0,20);(2)S=|﹣10t+150|;(3)(﹣,)
【解析】
(1)由三角形的面积公式可求a的值,即可求点A坐标;
(2)先求直线AB解析式,即可求点P坐标,由三角形面积公式可求S与t的关系;
(3)先求出PD解析式,求出点E坐标,可得EO=AO=20,∠AEO=45°=∠EAO,由三角形内角和定理和余角的性质可求∠DNO=∠FON=45°,可得NF=FO,由面积公式可求FO=12,由两点距离公式可求解.
解:(1)∵A(0,4a),B(3a,0),
∴AO=4a,BO=3a,a>0,
∵△AOB的面积是150.
∴AO×BO=150,
∴6a2=150,
∴a=5,(负值不合题意舍去),
∴点 A(0,20);
(2)∵a=5,
∴A(0,20),B(15,0),
设直线AB解析式为:y=kx+20,
∴0=15k+20,
∴k=﹣,
∴直线AB解析式为:y=﹣x+20,
∵点P是射线AB上的一点,
∴点P(t,﹣t+20)
∵S=S△POB=×OB×|yP|
∴S=×|﹣t+20|=|﹣10t+150|,
(3)如图1,过点O作OF⊥DE,
∵点P在第一象限内,且S△PBO=126,
∴126=﹣10t+150
∴t=,
∴点P(,)
∵OB=OD=15,
∴点D(0,15)
设直线DP解析式为:y=mx+15,
∴=m+15
∴m=,
∴直线PD解析式为:y=x+15,
∴设点N(x,x+15)
∵直线PD交x轴于点E,
∴点E(﹣20,0),
∴EO=AO=20,
∴∠AEO=45°=∠EAO,
∵∠DAP+∠ADP=90°,∠ABO+∠DAP=90°,
∴∠ADP=∠ABO=∠NDO,
∵∠EMN+∠ABE=180°,∠EMN+∠AMO=180°,
∴∠AMO=∠ABE=∠NDO,
∵∠AMO+∠MAO+∠AOM=180°,∠NDO+∠DON+∠DNO=180°,
∴∠EAO=∠DNO=45°,且FO⊥DE,
∴∠DNO=∠FON=45°,
∴NF=FO,
∴NO=FO,
由勾股定理可得:DE===25,
∵S△DEO=DO×EO=×DE×OF
∴OF=12,
∴NO=12
∴(x﹣0)2+(x+15﹣0)2=288,
∴x1=﹣,x2=(舍去)
∴点N坐标(﹣,)
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【题目】如图,花丛中有一路灯杆AB. 在灯光下,小明在D点处的影长DE=3米,沿BD方向行走到达G点,DG=5米,这时小明的影长GH=5米. 如果小明的身高为1.7米,求路灯杆AB的高度(精确到0.1米).
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【题目】如图,在△BAC中,∠B和∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,若BD=5,CE=4,则线段DE的长为( )
A. 9 B. 6 C. 5 D. 4
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A、C分别在坐标轴上,点B的坐标为(4,2),直线交AB,BC分别于点M,N,反比例函数的图象经过点M,N.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P在y轴上,且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标.
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【题目】如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在AB上,点E在BC上,且AD=BE,BD=AC.
(1)求证:CD=ED
(2)直接写出图中所有是∠ACD的2倍的角.
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【题目】一个纸盒内有张完全相同的卡片,分别标号为,,,.随机抽取一张卡片后不放回,再随机抽取另一张卡片.
(1)用列举法求“两次抽出卡片的标号等于”的概率;
(2)小明同学连续做了次试验,这次试验没有一次出现“两次抽出卡片的标号和等于”.他说,“第次试验我一定能够‘两次抽出卡片的标号和等于’”.你认为他说得对吗,为什么?
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【题目】如图,Rt△A'BC'是由Rt△ABC绕B点顺时针旋转而得,且点A,B,C'在同一条直线上,在Rt△ABC中,若∠C=90°,BC=2,AB=4,则Rt△ABC旋转到Rt△A'BC'所扫过的面积为________.
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【题目】随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.为了解某小区居民使用共享单车的情况,某研究小组随机采访该小区的10位居民,得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为:17,12,15,20,17,0,7,26,17,9.
(1)这组数据的中位数是 ,众数是 ;
(2)计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数;
(3)若该小区有200名居民,试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数.
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【题目】一天晚上,小丽帮妈妈清洗茶杯,三个茶杯只有花色不同,其中一个无盖(如图),在清洗过程中,突然停电了,小丽只好摸黑清洗(在摸黑清洗中,能分清杯盖与茶杯)
(1)小丽摸黑清洗过程中,在三个茶杯中他随手拿起两个,则这两个都属于有杯盖的茶杯的概率是多少?
(2)小丽摸黑清洗完茶杯和杯盖后,只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起,则花色搭配完全正确的概率是多少?
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