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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(04a)B(3a0)AOB的面积是150

1)求点A的坐标;

2)点P是射线AB上的一点,点P的横坐标为t,连接PO,若PBO的面积为S,试用含有t的式子表示S

3)在(2)的条件下,若点P在第一象限内,且SPBO126,过PPEAB,交y轴于点D,交x轴于点E,且OBOD,连接AEMAE上一点,连接OMPE于点N,若∠EMN+ABE180°,求点N的坐标.

【答案】1A(020);(2S|10t+150|;(3()

【解析】

1)由三角形的面积公式可求a的值,即可求点A坐标;

2)先求直线AB解析式,即可求点P坐标,由三角形面积公式可求St的关系;

3)先求出PD解析式,求出点E坐标,可得EOAO20,∠AEO45°=∠EAO,由三角形内角和定理和余角的性质可求∠DNO=∠FON45°,可得NFFO,由面积公式可求FO12,由两点距离公式可求解.

解:(1)∵A04a),B3a0),

AO4aBO3aa0

∵△AOB的面积是150

AO×BO150

6a2150

a5,(负值不合题意舍去),

∴点 A020);

2)∵a5

A020),B150),

设直线AB解析式为:ykx+20

015k+20

k=﹣

∴直线AB解析式为:y=﹣x+20

∵点P是射线AB上的一点,

∴点Pt,﹣t+20

SSPOB×OB×|yP|

S×|t+20||10t+150|

3)如图1,过点OOFDE

∵点P在第一象限内,且SPBO126

126=﹣10t+150

t

∴点P

OBOD15

∴点D015

设直线DP解析式为:ymx+15

m+15

m

∴直线PD解析式为:yx+15

∴设点Nxx+15

∵直线PDx轴于点E

∴点E(﹣200),

EOAO20

∴∠AEO45°=∠EAO

∵∠DAP+ADP90°,∠ABO+DAP90°

∴∠ADP=∠ABO=∠NDO

∵∠EMN+ABE180°,∠EMN+AMO180°

∴∠AMO=∠ABE=∠NDO

∵∠AMO+MAO+AOM180°,∠NDO+DON+DNO180°

∴∠EAO=∠DNO45°,且FODE

∴∠DNO=∠FON45°

NFFO

NOFO

由勾股定理可得:DE25

SDEODO×EO×DE×OF

OF12

NO12

∴(x02+x+1502288

x1=﹣x2(舍去)

∴点N坐标(﹣

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