Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．

【解析】

试题（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；

（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；

（3）利用△PBD的面积即可求得．

试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，

∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；

（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），

当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；

当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；

当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．

综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，

∵△PBD的面积

==

=，

∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．