Question

【题目】如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s.当点P到达点B时，P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t（s），

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化,请说明理由：若不变，请求出它的度数.

Answer 1

【答案】(1)1秒或2秒;(2)见解析.

【解析】

（1）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=3-t.分两种情况讨论：①∠PQB=90°；②∠BPQ=90°.逐一求解即可.

（2）先证明△ABQ≌△CAP，得到∠BAQ=∠ACP，于是可得∠CMQ=∠BAC=60°.

解：（1）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=3-t

①当∠PQB=90°时，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得3-t=2t，t=1；

②当∠BPQ=90°时，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（3-t），

∴t=2,

∴当第1秒或第2秒时，△PBQ为直角三角形.

（2）∠CMQ不会发生变化，∠CMO=60°.理由如下：

在△ABQ与△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.