Question

8．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c与直线y=-x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．
（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标．
（2）试确定抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx+c与直线y=-x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，可以求得点B、C两点的坐标，由图象可知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x=4，从而可以求得点A的坐标；
（2）根据抛物线过点A、B、C三点，从而可以求得抛物线的解析式．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与直线y=-x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，
∴将x=0代入y=-x+6得，y=6；将y=0代入y=-x+6，得x=6．
∴点B的坐标是（6，0），点C的坐标是（0，6）．
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x=4，
∴点A的坐标为（2，0）．
即抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标分别是（2，0），（6，0）．
（2）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$
解得a=$\frac{1}{2}$，b=-4，c=6．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6$．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．