【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F,DF交对角线AC于点M,且∠ADE=∠CDF.
(1)求证:CE=AF;
(2)连接ME,若=,AF=2,求的长.
【答案】(1)见解析(2)2
【解析】
(1)通过已知条件,易证△ADF≌△CDE,即可求得;
(2)根据=,易求得BE和BF,根据已知条件可得==,证明△AMF∽△CMD,,再证明△ABC~△MEC,即可求出ME.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,∠DAF=∠DCE,
又∵∠ADE=∠CDF,
∴∠ADE﹣∠EDF=∠CDF﹣∠EDF,
∴∠ADF=∠CDE,
在△ADF和△CDE中,
,
∴△ADF≌△CDE,
∴CE=AF.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
由(1)得:CE=AF=2,
∴BE=BF,
设BE=BF=x,
∵=,AF=2,
∴,解得x=,
∴BE=BF=,
∵=,且CE=AF,
∴==,
∵∠CMD=∠AMF,∠DCM=∠AMF,
∴△AMF∽△CMD,
∴,
∴,且∠ACB=∠ACB,
∴△ABC~△MEC,
∴∠CAB=∠CME=∠ACB,
∴ME=CE=2.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC.
(1)求作直线EF使得EF交AD于点E,交BC于点F且使得EA=EC,FA=FC(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)连接AF、CE,判断四边形AFCE的形状,并说明理由.
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【题目】如图,点A,B,C在反比例函数的图象上,且直线AB经过原点,点C在第二象限上,连接AC并延长交x轴于点D,连接BD,若△BOD的面积为9,则=_____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,Rt△MPN,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB与点E,PN交BC与点F,当PE=2PF时,AP=_____
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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线在第一象限上的一点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,交线段BC于点Q.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)当PQ=2QH时,求点P的坐标;
(3)当PH最大时,连接AP,AP与BC交于点D,点F是第一象限内一点,且∠AFC=45°,点G在抛物线上,直线FG、FC分别与直线PH交于点M、N.当三角形ABD相似三角形FMN时,求点G的坐标.
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【题目】有一边长为的等边游乐场,某人从边中点出发,先由点沿平行于的方向运动到边上的点,再由沿平行于方向运动到边上的点,又由点沿平行于方向运动到边上的点,则此人至少要运动_______,才能回到点.如果此人从边上意一点出发,按照上面的规律运动,则此人至少走______,就能回到起点.
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【题目】如图,点在矩形的边上,,,连接,线段绕点旋转,得到线段,以线段为直径做.
(1)请说明点一定在上的理由,
(2)①点在上,为的直径,求证:点到的距离等于线段的长.
②当面积取得最大值时,求半径的长.
(3)当与矩形的边相切时,计算扇形的面积.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P,Q在对角线BD上,且BQ=BP,过点P作PH⊥AB于点H,连接HQ,以PH、HQ为邻边作平行四边形PHQG,设BQ=m.
(1)若m=2时,求此时PH的长.
(2)若点C,G,H在同一直线上时,求此时的m值.
(3)若经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分,同时该直线将平行四边形PHQG的面积分成1:3的两部分,求此时m的值.
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