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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+cx轴交于A-10),B两点,与y轴交于点C03),点P是抛物线在第一象限上的一点,过点PPHx轴,垂足为H,交线段BC于点Q

1)求抛物线对应的函数表达式;

2)当PQ=2QH时,求点P的坐标;

3)当PH最大时,连接APAPBC交于点D,点F是第一象限内一点,且∠AFC=45°,点G在抛物线上,直线FGFC分别与直线PH交于点MN.当三角形ABD相似三角形FMN时,求点G的坐标.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)利用待定系数法求解即可;

2)先根据二次函数的解析式求出点B的坐标,再利用待定系数法求出直线BC的解析式,然后根据建立等式求解即可;

3)在(2)的基础上,先利用二次函数的性质求出点P的坐标,在利用二次函数的性质、正切函数值得出,然后根据相似三角形的性质分三种情况:①当时、②当时、③当时,先分别利用相似三角形的性质确认点F在直线PA上,再利用相似三角形的性质得出点N的坐标,从而可得直线CN的解析式,然后联立直线PACN的解析式可求出点F的坐标,进而利用待定系数法可求出直线FG的解析式,最后联立二次函数与直线FG的解析式即可得.

1)将代入

解得

故抛物线对应的函数表达式为

2)对于

时,,解得

则点B的坐标为

设直线BC的解析式为

代入得,解得

则直线BC的解析式为

,则,且

因此有

得:

解得(不符题意,舍去)

此时,

故点P的坐标为

3)由(2)可知,

由二次函数的性质得:当时,PH取得最大值,最大值为4

设直线PA的解析式为

代入得,解得

则直线PA的解析式为

联立,解得

是等腰直角三角形,

由两点之间的距离公式得:

由二次函数的对称性可知,

中,

中,

,即

根据相似三角形的性质,分以下三种情况:

①当

则点F不可能位于第一象限,不符题意

②如图1,当

AFBC的交点为点Q

F是第一象限内一点,且

F外接圆位于第一象限的弧上

由圆周角定理得:

则当三角形ABD相似三角形FMN时,也相似或完全重合

找不出两组对应相等的角

不可能相似,只能是完全重合

Q与点D重合

则点F在直线PA上,

,即

解得

,即

设直线CN的解析式为

代入得:,解得

则直线CN的解析式为

联立,解得

,即

则可设直线FG的解析式为

代入得,解得

则直线FG的解析式为

联立,解得

时,

时,

则此时点G的坐标为

③如图2,当

同②可得:点F在直线PA上,

可设直线FG的解析式为

将点代入得:,解得

则直线FG的解析式为

联立,解得

时,

时,

则此时点G的坐标为

综上,点G的坐标为

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商品

价格

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