【题目】如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,使得AE⊥DE;
(1)求证:△ABE∽△ECD;
(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长;
(3)当△AED∽△ECD时,请写出线段AD、AB、CD之间数量关系,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)线段AD、AB、CD之间数量关系:AD=AB+CD;理由见解析.
【解析】
(1)先根据同角的余角相等可得:∠DEC=∠A,利用两角相等证明三角形相似;
(2)先根据勾股定理得:BE=3,根据△ABE∽△ECD,列比例式可得结论;
(3)先根据△AED∽△ECD,证明∠EAD=∠DEC,可得∠ADE=∠EDC,证明Rt△DFE≌Rt△DCE(HL),则DF=DC,同理可得:AF=AB,相加可得结论.
(1)证明:∵AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠B=∠C=90°,∠BAE+∠AEB=90°,
∵AE⊥DE,
∴∠AED=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠DEC=∠BAE,
∴△ABE∽△ECD;
(2)解:Rt△ABE中,∵AB=4,AE=5,
∴BE=3,
∵BC=5,
∴EC=5﹣3=2,
由(1)得:△ABE∽△ECD,
∴ ,
∴,
∴CD=;
(3)解:线段AD、AB、CD之间数量关系:AD=AB+CD;
理由是:过E作EF⊥AD于F,
∵△AED∽△ECD,
∴∠EAD=∠DEC,
∵∠AED=∠C,
∴∠ADE=∠EDC,
∵DC⊥BC,
∴EF=EC,
∵DE=DE,
∴Rt△DFE≌Rt△DCE(HL),
∴DF=DC,
同理可得:△ABE≌△AFD,
∴AF=AB,
∴AD=AF+DF=AB+CD.
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【题目】如图,已知△ABC,现将边BA延长至点D,使AD=AB,延长AC至点E,使CE=2AC.延长CB至点F,使BF=3BC,分别连结DE,DF,EF,得到△DEF,若△ABC的面积为1,则阴影部分的面积为______.
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【题目】如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE顺时针旋转△ABF的位置.
(1)旋转中心是点 ,旋转角度是 度;
(2)若连结EF,则△AEF是 三角形;并证明;
(3)若四边形AECF的面积为25,DE=2,求AE的长.
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【题目】如图,点D是Rt△ABC斜边AB的中点,过点B、C分别作BE∥CD,CE∥BD.
(1)若∠A=60°,AC=,求CD的长;
(2)求证:BC⊥DE.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B,与x轴的另一个交点为C,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)画出抛物线的图象;
(3)在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】有若干张如图所示的正方形和长方形卡片,如果要拼一个长为,宽为的长方形,则需要类卡片_______张,类卡片________张,类卡片________张;
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【题目】具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠CB.∠A-∠B=∠C
C.∠A=∠B=2∠CD.∠A:∠B:∠C=1:2:3
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P、Q分别从点A、B同时开始移动,点P的速度为1 cm/秒,点Q的速度为2 cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm 的是( )
A. 2秒钟 B. 3秒钟 C. 4秒钟 D. 5秒钟
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【题目】如图,在等腰直角△ACB中,∠ACB=90°,O是斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P.有下列结论:
①∠DEO=45°;
②△AOD≌△COE;
③S四边形CDOE=S△ABC;
④.
其中正确的结论序号为 .(把你认为正确的都写上)
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