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【题目】如图,AB⊥BC,DC⊥BC,EBC上一点,使得AE⊥DE;

(1)求证:△ABE∽△ECD;

(2)AB=4,AE=BC=5,求CD的长;

(3)△AED∽△ECD时,请写出线段AD、AB、CD之间数量关系,并说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)线段AD、AB、CD之间数量关系:AD=AB+CD;理由见解析.

【解析】

(1)先根据同角的余角相等可得:∠DEC=∠A,利用两角相等证明三角形相似;
(2)先根据勾股定理得:BE=3,根据△ABE∽△ECD,列比例式可得结论;
(3)先根据△AED∽△ECD,证明∠EAD=∠DEC,可得∠ADE=∠EDC,证明Rt△DFE≌Rt△DCE(HL),则DF=DC,同理可得:AF=AB,相加可得结论.

(1)证明:∵ABBC,DCBC,

∴∠B=C=90°,BAE+AEB=90°,

AEDE,

∴∠AED=90°,

∴∠AEB+DEC=90°,

∴∠DEC=BAE,

∴△ABE∽△ECD;

(2)解:RtABE中,∵AB=4,AE=5,

BE=3,

BC=5,

EC=5﹣3=2,

由(1)得:ABE∽△ECD,

CD=

(3)解:线段AD、AB、CD之间数量关系:AD=AB+CD;

理由是:过EEFADF,

∵△AED∽△ECD,

∴∠EAD=DEC,

∵∠AED=C,

∴∠ADE=EDC,

DCBC,

EF=EC,

DE=DE,

RtDFERtDCE(HL),

DF=DC,

同理可得:ABE≌△AFD,

AF=AB,

AD=AF+DF=AB+CD.

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