Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，．抛物线经过点，将点向右平移个单位长度，得到点．

（1）求点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）C（5，4）；对称轴x=1；（2）a≥或a＜或a=-1．

【解析】

（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；

（2）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解

解：（1）与y轴交点：令x=0代入直线y=4x+4得y=4，

∴B（0，4），

∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，

∴C（5，4）；

又∵与x轴交点：令y=0代入直线y=4x+4得x=-1，

∴A（-1，0），

∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，

将点A（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx-3a中得0=a-b-3a，即b=-2a，

∴抛物线的对称轴x=；

（2）∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0）且对称轴x=1，

由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），

①a＞0时，如图1，

将x=0代入抛物线得y=-3a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴-3a＜4，

a＞，

将x=5代入抛物线得y=12a，

∴12a≥4，

a≥，

∴a≥；

②a＜0时，如图2，

将x=0代入抛物线得y=-3a，

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴-3a＞4，

a＜，

将x=5代入抛物线得y=12a，

∴12a<4

∴a＜，

∴a＜；

③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，

将点（1，4）代入抛物线得4=a-2a-3a，

解得a=-1．

综上所述:：a≥或a＜或a=-1．