【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线BC:y=交x轴于点B,点A在x轴正半轴上,OC为△ABC的中线,C的坐标为(m,)
(1)求线段CO的长;
(2)点D在OC的延长线上,连接AD,点E为AD的中点,连接CE,设点D的横坐标为t,△CDE的面积为S,求S与t的函数解析式;
(3)在(2)的条件下,点F为射线BC上一点,连接DB、DF,且∠FDB=∠OBD,CE=,求此时S值及点F坐标.
【答案】(1)CO=5;(2)S=﹣2t﹣5;(3)S=7,F坐标为(,)或(,8).
【解析】
(1)将点C坐标代入解析式可求m的值,由两点距离公式可求解;
(2)先求出点A坐标,用待定系数法可求CO解析式,可得点D坐标点D(t,﹣t),由面积和差关系可求解;
(3)由中点坐标公式可得点E坐标(,﹣t),由两点距离公式可求t的值,即可求S的值,分两种情况讨论,由等腰三角形的性质和平行线的性质可求解.
解:(1)∵直线BC:y=x+交x轴于点B,
∴点B坐标(﹣8,0),
∵C的坐标为(m,)
∴=×m+,
∴m=﹣,
∴点C坐标为(﹣,)
∴CO==5;
(2)如图,
∵OC为△ABC的中线,
∴BO=AO=8,
∴S△ACO=×8×=10,
∵点C坐标为(﹣,),点O坐标(0,0)
设直线CO为:y=kx,
把C点代入得=﹣×k,
解得k=﹣
∴直线CO解析式为:y=﹣x,
∴点D(t,﹣t),
∴S△AOD=×8×(﹣t)=﹣4t,
∴S△ACD=S△AOD﹣S△AOC=﹣4t﹣10,
∵点E为AD的中点,
∴S=S△ACD=﹣2t﹣5;
(3)∵点D(t,﹣t),点A(8,0),点E是AD中点,
∴点E坐标(,﹣t),
∵CE=,
∴(﹣﹣)2+(+t)2=13,
∴t1=﹣6,t2=﹣8,
∴点D(﹣6,)或(﹣8,8),
当t1=﹣6时,则点F(﹣6,),S=﹣2×(﹣6)﹣5=7,
延长DF交x轴于点H,
设点H(x,0)
∵∠FDB=∠OBD,
∴DH=BH,
∴x+8=
∴x=20,
∴点H(20,0),
设直线DH的解析式为:y=kx+b,
∴
∴
∴直线DH的解析式为:y=﹣x+,
联立直线DH和直线BC
∴x+=﹣x+,
∴x=,
∴点F(,),
当t2=﹣8,点D(﹣8,8),S=﹣2×(﹣8)﹣5=11,
∵点D(﹣8,8),点B(﹣8,0),
∴∠DBO=90°,
∵∠FDB=∠OBD=90°,
∴DF∥BO,
∴点F的纵坐标为8,
∴8=x+,
∴x=,
∴点F(,8).
综上所述:点F坐标为(,)或(,8).
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【题目】已知二次函数的图象过点且与直线相交于、两点,点在轴上,点在轴上.
求二次函数的解析式.
如果是线段上的动点,为坐标原点,试求的面积与之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围.
是否存在这样的点,使?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(2,3),B(﹣3,n)两点,与x轴交于点C.
(1)求直线和双曲线的函数关系式.
(2)若kx+b﹣<0,请根据图象直接写出x的取值范围.
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【题目】小帆同学根据函数的学习经验,对函数进行探究,已知函数过,,.
(1)求函数解析式;
(2)如图1,在平面直角坐标系中画的图象,根据函数图象,写出函数的一条性质 ;
(3)结合函数图象回答下列问题:
①方程的近似解的取值范围(精确到个位)是 ;
②若一次函数与有且仅有两个交点,则的取值范围是 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线y=﹣x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,在x轴上有一点E,在y轴上有一点F,满足OB=3BF=3AE,连接EF,交AB于点M,则M的坐标为_____.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BCD,AC⊥AB,E是BC的中点,AD⊥AE.
(1)求证:AC2=CD·BC;
(2)过E作EG⊥AB,并延长EG至点K,使EK=EB.
①若点H是点D关于AC的对称点,点F为AC的中点,求证:FH⊥GH;
②若∠B=30°,求证:四边形AKEC是菱形.
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【题目】如图,在ΔABC中,AC=15,BC=18,sinC=,D是AC上一个动点(不运动至点A,C),过D作DE∥BC,交AB于E,过D作DF⊥BC,垂足为F,连结BD,设CD=x.
(1)用含x的代数式分别表示DF和BF;
(2)如果梯形EBFD的面积为S,求S关于x的函数关系式;
(3)如果△BDF的面积为S1,△BDE的面积为S2,那么x为何值时,S1=2S2
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【题目】在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别交于点,.抛物线经过点,将点向右平移个单位长度,得到点.
(1)求点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)若抛物线与线段恰有一个公共点,结合函数图象,求的取值范围.
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【题目】如图,矩形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,且AE=DE,BC=3BF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠,点A恰好落在BC边上的点G处,则cos∠EGF的值为_____.
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