Question

【题目】如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S＝﹣（m﹣）2+，（3）45°

【解析】

（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；

（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化；

（3）由（2）可知m＝，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值,从而得到M′的坐标，然后将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值即可．

解：（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，

∴y＝3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴3＝﹣3a，

∴a＝﹣1，

∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，

∴0＝﹣x2+2x+3，

∴x＝﹣1或3，

∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，

∵M在抛物线上，且在第一象限内，

∴0＜m＜3，

令y＝0代入y＝﹣3x+3，

∴x＝1，

∴A的坐标为（1，0），

由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），连接OM

S＝S四边形OAMB﹣S△AOB

＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB

＝×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3

＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，S取得最大值．

（3）由（2）可知：M′的坐标为（，）；

过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，

根据题意知：d1+d2＝BF，

此时只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′＝90°，

∴点F在以BM′为直径的圆上，

设直线AM′与该圆相交于点H，

∵点C在线段BM′上，

∴F在优弧上，

∴当F与M′重合时，

BF可取得最大值，

此时BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（，），

∴由勾股定理可求得：AB＝，M′B＝，M′A＝，

过点M′作M′G⊥AB于点G，

设BG＝x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，

∴﹣（﹣x）2＝﹣x2，

∴x＝，

cos∠M′BG＝＝，

∵l1∥l′，

∴∠BCA＝90°，

∠BAC＝45°；