Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AE平分∠BAC交BC于E，CD⊥AE交AE延长线于D，连接BD，若BD=CD，⊙O是以AE为直径的△ABE的外接圆，与AC交于点H．

（1）求证：BD为⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为1，BF平分∠ABC交AE于G，交⊙O于F；

①求的值．

②求BE2的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①2，②

【解析】

(1)由BD=CD，推出∠DBC=∠DCB，由OB=OE，推出∠OBE=∠OEB，从而证得∠DBC+∠OBE=90°，即可证明结论；

(2)①先证得∠ABF=∠GAF，从而证得△AFG∽△BFA，再证得△AOF是等腰直角三角形，即可证得结论；

②利用角平分线的性质证得EH=HB，在△ABE中，根据勾股定理即可证得结论．

(1)证明：连接OB．

∵BD=CD，

∴∠DBC=∠DCB，

∵CD⊥AE交AE延长线于D，

∴∠DCB+∠DEC=90°，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵∠DEC=∠BEO，

∴∠DBC+∠OBE=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD为⊙O的切线；

(2)①∵BF平分∠ABC，AE为直径，

∴，∠ABE=90，

∴∠ABF=∠GAF=45，

∵∠AFG=∠BFA，

∴△AFG∽△BFA，

∴，

∴，

连接OF，

∵∠AOF=2∠ABF=90，且OA=OF，

∴△AOF是等腰直角三角形，

∴，

∴=2；

②连接EH．

∵AE为⊙O直径，

∴∠AHE=90°，

∵等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AE平分∠A交BC于E，

∴EH=HB，

∵等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，

∴∠ACB=45°，

∴EC=EH=BE，

∴AB=BC=(1+)BE，

又∵AE=2，

∴在△ABE中有：，即，

解得：BE2=．