Question

【题目】如图，在平面直角坐标系，点 O 是原点，直线 y x 6分别交 x 轴，y 轴于点 B，A，经过点 A 的直线 y x b 交 x 轴于点 C．

　　

（1）求 b 的值 ；

（2）点 D 是线段 AB 上的一个动点，连接 OD，过点 O 作 OE⊥OD 交 AC 于点 E，连接DE，将△ODE 沿 DE 折叠得到△FDE，连接 AF．设点 D 的横坐标为 t，AF 的长为 d，当t＞ 3 时，求 d 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，DE 交 OA 于点 G，且 tan∠AGD=3.点 H 在 x 轴上（点 H 在点O 的右侧），连接 DH，EH，FH，当∠DHF=∠EHF 时，请直接写出点 H 的坐标，不需要写出解题过程．

Answer 1

【答案】（1）b＝6；（2）d＝6＋2t；（3）H点的坐标为（2，0）或（10，0）．

【解析】

（1）由y＝x＋6求得A点坐标，再将A点坐标代入y＝x＋b中，便可求得b；

（2）过点D分别作DM⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，过点F作FR⊥AF交AE于点R，可证明四边形DMON为矩形，再证△AOD≌△COE（ASA），用t表示AD，然后证明△ADF≌△REF（AAS），进而用t表示AR，问题便可迎刃而解；

（3）分两种情况解答：第一种情况，当FH平分∠DHE时，连接OF，过E作EK⊥x轴于点K，作EL⊥y轴于点L，设正方形ODFE的外接圆交x轴于点H，证明△ODM≌△EOK（AAS），用t表示出EL，OL，再由tan∠AGD＝3，便可用t表示GN，GL，由OA＝6列出t的方程求得t，便可求得H点坐标；第二种情况，当∠DHF与∠EHF重合时，延长DE与x轴交于点H，求出DE与x轴的交点坐标便可．

解：（1）令x＝0，得y＝x＋6＝6，

∴A（0，6），

把A（0，6）代入y＝x＋b中，得b＝6；

（2）令y＝0，得y＝x＋6＝0，则x＝6，

∴B（6，0），

∵点D的横坐标为t，

∴D（t，t＋6），

令y＝0，得y＝x＋6＝0，x＝6，

∴C（6，0），

∵OA＝OB＝6，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

同理∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠BAC＝90°，

在Rt△AOC中，AC＝OA＝，

如图1，过点D分别作DM⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，

∵∠DMO＝∠MON＝∠OND＝90°，

∴四边形DMON为矩形，

∴DN＝OM＝t，

在Rt△ADN中，∠DAN＝45°，AD＝，

∵∠AOD＋∠AOE＝90°，∠COE＋∠AOE＝90°，

∴∠AOD＝∠COE，

又∵∠OAD＝∠OCE＝45°，OA＝OC，

∴△AOD≌△COE（ASA），

∴OD＝OE，AD＝CE＝，

∵△DFE和△DOE关于DE对称，

∴DF＝OD＝OE＝EF，∠DFE＝∠DOE＝90°，

过点F作FR⊥AF交AE于点R，

∵∠AFD＋∠DFR＝90°，∠RFE＋∠DFR＝90°，

∴∠AFD＝∠RFE，

∵∠ERF＝∠RAF＋∠AFR＝∠RAF＋90°，∠DAF＝∠RAF＋∠DAR＝∠RAF＋90°，

∴∠ERF＝∠DAF，

∴△ADF≌△REF（AAS），

∴AF＝RF，AD＝RE＝，

∴∠FAR＝∠FRA，

又∵∠FAR＋∠FRA═90°，

∴∠FAR＝∠FRA＝45°，

在Rt△AFR中，AR＝ACCEER＝，AF＝AR＝6＋2t，

∴d＝6＋2t；

（3）如图2，连接OF，过E作EK⊥x轴于点K，,作EL⊥y轴于点L，

由（2）可得四边形ODFE是正方形，设正方形ODFE的外接圆交x轴于点H，

∴∠DOM＋∠ODM＝∠DOM＋∠EOK＝90°，

∴∠ODM＝∠EOK，

∵∠OMD＝∠EKO＝90°，OD＝EO，

∴△ODM≌△EOK（AAS），

∴EK＝OM＝DN＝OL＝t，LE＝OK＝DM＝6＋t，

∵tan∠AGD＝3，DN＝t，

∴，即，

∴GN＝，GL＝，

∴OA＝OL＋GL＋GN＋AN＝，

∵OA＝6，

∴2t＋2＝6，

∴t＝2，

∴AF＝6＋2t═2，

∵OF是正方形ODFE的外接圆的直径，

∴FH⊥x轴，∠DHF＝∠DOF＝∠EOF＝45°＝∠EHF，

∴H（2，0）满足条件；

如图3，延长DE与x轴交于点H，则∠DHF＝∠EHF，

由以上知D（2，4），E（4，2），

设直线DE的解析式为：y＝kx＋b（k≠0），

则，解得：，

∴直线DE的解析式为：，

当y＝0时，得，

解得：x＝10，

∴H（10，0），

综上，H点的坐标为（2，0）或（10，0）．