Question

【题目】已知关于x的方程 x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，则△ABC的周长为_____．

Answer 1

【答案】10

【解析】

分a为腰长以及底边长两种情况考虑．①等a为腰长时，将x＝4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程解方程可得出底边长，再利用三角形的三边关系验证后可得出结论；②当a为底边长时，根据根的判别式△＝0即可求出k值，将k值代入原方程解方程可得出腰长，再利用三角形的三边关系验证后即可得出结论．综上即可得出结论．

解：①当a为腰长时，将x＝4代入x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0中得：10﹣4k＝0，

解得：k＝，

∴原方程为x2﹣6x+8＝0，

解得：x1＝4，x2＝2，

∵4，4，2满足任意两边之和大于第三边，

∴C＝4+4+2＝10；

②当a为底边长时，方程 x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0有两个相等的实数根，

∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝0，

解得：k＝．

当k＝时，原方程为x2﹣4x+4＝0，

解得：x＝2，

∵2，2，4不满足任意两边之和大于第三边，

∴a为底边长不符合题意．

综上可知：△ABC的周长为10．

故答案为：10．