Question

4．如图，以坐标原点O为圆心的圆弧交y轴于点A（0，5），交x轴于点B，正方形CDEF内接于扇形AOB（其中C在y轴上、D在x轴上，E、F在$\widehat{AB}$上），则正方形CDEF的边长为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{5（\sqrt{5}-1）}{2}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． 以上都不正确

Answer 1

分析 过O作OG⊥EF，交CD于点H，连接OF，设CH=a，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得OG=3a，在Rt△OEG中，根据勾股定理可得a的值，进一步得到正方形CDEF的边长．

解答 解：过O作OG⊥EF，交CD于点H，连接OF，
设CH=a，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，△OCD是等腰直角三角形，
∴CH=DH=a，
∵∠AOB=90°，
∴CH=OH，
∴OG=3a，
在Rt△OFG中，OF²=GF²+OG²，即5²=a²+（3a）²，
解得a=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴CF=2a=$\sqrt{10}$．
故正方形CDEF的边长为$\sqrt{10}$．
故选：C．

点评 本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再进行解答．