Question

9．现有一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm．要求裁出来的长方形纸条的宽度相等，且都为5$\sqrt{2}$cm，则这3种裁法哪种裁出来的长方形纸条总长度最长．

Answer 1

分析 利用相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质分别求出总长度即可比较．

解答 解：∵AC=BC=40，∠ACB=90°，
∴AB=40$\sqrt{2}$，
∵CD⊥AB，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}=20\sqrt{2}$，
裁发一中：
每张纸条宽度均为5$\sqrt{2}$，
第一张纸条长度记作a，则$\frac{20\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{20\sqrt{2}}=\frac{a}{40\sqrt{2}}$，解得：a=30$\sqrt{2}$；
第二张纸条宽度记作b，则$\frac{20\sqrt{2}-2×5\sqrt{2}}{20\sqrt{2}}=\frac{b}{40\sqrt{2}}$，解得：b=20$\sqrt{2}$；
第三张纸条宽度记作c，则$\frac{20\sqrt{2}-3×5\sqrt{2}}{20\sqrt{3}}=\frac{c}{40\sqrt{2}}$，解得：c=10$\sqrt{2}$；
故第一种裁法中纸条总长度为：60$\sqrt{2}$；
裁法二中：纸条长度分别为40-5$\sqrt{2}$，40-2×$5\sqrt{2}$，40-3×$\sqrt{2}$，40-4×$5\sqrt{2}$，40-5×$5\sqrt{2}$，
故总长度为200-75$\sqrt{2}$；
裁法三中，纸条长度有2个（20$\sqrt{2}$-5$\sqrt{2}$），2个（20$\sqrt{2}$-2×$5\sqrt{2}$），2个（20$\sqrt{2}$-3×$5\sqrt{2}$），
故总长度为60$\sqrt{2}$；
∵200-75$\sqrt{2}$＞60$\sqrt{2}$．
故裁法二中的纸条最长．

点评 本题考查相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，利用等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．