如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．分析 （1）根据图形，利用点Q为线段BC边中点，由点B的坐标，所以可以求出P的坐标，再利用△CPQ∽BQN，△BQN∽△DMN，得出MA的长进而得出M点坐标；
（2）根据（1）的条件，可以分两种情况进行解答，第一种情况当0≤t≤5时，可以求出S的值，第二种情况当5≤t≤8时，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴，可以证出RI=FI，有根据FI=2PI可以证出FP=PI，PI=2PF，PF=t-5，RI=2（t-5），最后解出结果．
（3）根据（1）的条件，可以分三种情况进行讨论，第一种情况先作PM的中垂线交正方形的边为点H1，H2，则PH1=MH1，PH2=MH2，所以点H1，H2即为所求点，分别求出H1、H2的坐标；第二种情况当PM=PH3时的情况，分别求出PM、MH3、OH3的值，最后求出H3的坐标．第三种情况当PM=MH4时，分别求出PM、MH4 BH4的值，即可求出H4 的坐标．
解答 解：（1）∵点Q为线段BC边中点，B（8，8），
∴设OP=x，则CP=8-x，
故（8-x）2+42=x2，
解得：x=5，
∴P（0，5），
可得△CPQ∽BQN，
则$\frac{CP}{BQ}$=$\frac{CQ}{BN}$，
即$\frac{3}{4}$=$\frac{4}{BN}$，
解得：BN=$\frac{16}{3}$，
故AN=$\frac{8}{3}$，
再利用△BQN∽△DMN，
可得AM=1，
故M（8，1）；
（2）①当0≤t≤5时，S=$\frac{1}{2}$t2，
②当5≤t≤8时，如图1，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴，
∵EO=FO，∴RI=FI，
又∵$\frac{RI}{PI}$=$\frac{SM}{PS}$=$\frac{8}{4}$=2，
∴RI=2PI，
∴FI=2PI，
∴FP=PI，RI=2PF，
∴PF=t-5，RI=2（t-5），
∴S=S△OEF-S△PRF，
=$\frac{1}{2}$t2-$\frac{1}{2}$（t-5）•2（t-5），
=-$\frac{1}{2}$t2+10t-25；
（3）①如图2，作PM的中垂线交正方形的边为点H1，H2，
，则PH1=MH1，PH2=MH2，
∴点H1，H2即为所求点，
设OH1=x，∵PH1=MH1，
∴x2+52=（8-x）2+12
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴H1（$\frac{5}{2}$，0），
同理，设CH2=y，∵PH2=MH2，
∴32+y2=（8-y）2+72
解得：y=$\frac{13}{2}$，
∴H2（$\frac{13}{2}$，8），
②当PM=PH3时，
∵PM=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴PH3=4$\sqrt{5}$，
又∵PO=5，
∴OH3=$\sqrt{55}$，
∴H3（$\sqrt{55}$，0），
③当PM=MH4时，
∵PM=4$\sqrt{5}$，
∴MH4=4$\sqrt{5}$，又∵BM=7，
∴BH4=$\sqrt{31}$，
∴H4（8-$\sqrt{31}$，8），
综上，一共存在四个点，H1（$\frac{5}{2}$，0），H2（$\frac{13}{2}$，8），H3（$\sqrt{55}$，0），H4（8-$\sqrt{31}$，8）．
点评 本题主要考查了相似三角形判定和的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，在解题时要注意要根据点的不同位置进行分类讨论，不要漏解．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限内，OB=AB，且∠OBA=45°，点P是x轴正半轴上的一动点（点P在点A的右侧），以BP为腰作等腰△BPQ，且BP=BQ，∠PBQ=45°．已知点Q的坐标为（x，y），则y与x的函数关系式是y=x-2．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | （0，-2） | B． | （1，-2） | C． | （-2，0） | D． | （4，6） |
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，在6×8的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | 1，2 | B． | 1，0 | C． | $\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}$ | D． | $-\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$ |
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科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=18，BC=20，若有一半径为9的圆分别与AC和BC相切，则下列可找到此圆圆心的方法是（ ）| A． | BC的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点 | |
| B． | ∠C的平分线与BC的垂直平分线的交点 | |
| C． | ∠C的平分线与AC的垂直平分线的交点 | |
| D． | ∠C的平分线与AB的垂直平分线的交点 |
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如图，梯形的上底长为3x，下底长为5x-y，高为3x+2y，求这个梯形的面积．