Question

如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D、BC于点E．
（1）求证：BD=ID；
（2）若ID=4，AD=8，求DE的长；
（3）延长ID至点F，使DF=ID．连结BF，求证：BF⊥BI．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：证明题

分析：（1）要证明ID=BD，只要求得∠BID=∠IBD即可；
（2）根据已知及相似三角形的判定方法得到△ABD∽△BED，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DE的长；
（3）由（1）可知ID=BD，所以BD=ID=DF，即BD=

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ID，所以三角形BFI是直角三角形，进而可证明BF⊥BI．

解答：（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD；
（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D，
∴△ABD∽△BED，
∴BD：DE=AD：BD，
∵ID=BD=4，AD=8，
∴4：DE=8：4，
∴DE=2；
（3）∵ID=BD，DF=ID，
∴BD=ID=DF，
即BD=

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ID，
∴△BFI是直角三角形，
∴BF⊥BI．

点评：本题考查了三角形的内心的性质，以及等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定和性质，证明△ABD∽△BED是解题关键．